Sách bài tập Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Trang trước Trang sau

Bài 27 trang 55 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Xác định a, b’,c trong mỗi phương trình rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

a. 5x² – 6x -1 = 0 b. -3x² + 14x - 8 = 0

c. -7x² + 4x = 3 d. 9x² + 6x + 1 = 0

Lời giải:

a. Phương trình 5x² – 6x -1 = 0 có hệ số a = 5, b’ = -3, c = -1

Ta có: Δ’ = b’² – ac = (-3)² -5.(-1) = 9 + 5 = 14 > 0

√Δ' =√14

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

Giải sách bài tập Toán lớp 9 hay nhất, chi tiết

b. Phương trình -3x²+ 14x - 8 = 0 có hệ số a = -3, b’= 7, c = -8

Ta có: Δ' = b’² – ac = 7² – (-3).(-8) = 49 – 24 > 0

√Δ' = √25 = 5

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

c. Phương trình -7x² +4x=3 ⇔ 7x² -4x+3 = 0 có hệ số a=7, b’=-2 , c=3

Ta có: Δ’ = b’² – ac = (-2)² -7.3 = 4- 21= -17 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm

d. Phương trình 9x² +6x+1 =0 có hệ số a=9,b’=3,c=1

Ta có: Δ’ = b’² – ac = 3² -9.1 = 9 - 9 = 0

Phương trình có nghiệm kép:

x₁ = x₂ = -b'/a =-3/9 =-1/3

Bài 28 trang 55 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau?

a. x² +2 + 2√2 và 2(1+√2 )x

b. √3 x² + 2x -1 và 2√3 x +3

c. -2√2 x – 1 và √2 x² + 2x +3

d. x² - 2√3 x - √3 và 2x² +2x +√3

e. √3 x² + 2√5 x - 3√3 và -x² - 2√3 x +2√5 +1

Lời giải:

a,Ta có: x² +2 + 2√2 = 2(1 + √2)x ⇔ x² - 2(1+√2 )x +2 +2√2 = 0

Δ' = b’² – ac = [-(1+√2 )]²- 1(2+2√2 )

= 1 + 2√2 +2 -2 -2√2 =1 > 0

√Δ' = √1 =1

Vậy với x= 2+ √2 hoặc x =√2 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

b. Ta có: √3 x² + 2x -1 = 2√3 x + √3 ⇔ √3x² + 2x - 2√3 x -3 -1 = 0

⇔ √3x² + (2 - 2√3 )x -4 =0 ⇔ √3 x² + 2(1 - √3 )x -4 = 0

Δ' = b’² – ac= (1- √3 )² - √3 (-4) =1 - 2√3 +3 +4√3

= 1 + 2√3 +3 = (1 + √3)² > 0

Vậy với x= 2 hoặc x = (-2√3)/3 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

c,Ta có: -2√2 x – 1 =√2 x² + 2x +3 ⇔ √2 x² +2x + 3 + 2√2 x + 1=0

⇔√ 2 x² + 2(1 + √2 )x +4 =0

Δ' = b’² – ac= (1+ √2 )² - √2 .4= 1+2√2 +2 - 4√2

= 1-2√2 +2 = (√2 -1)² > 0

Vậy với x= -√2 hoặc x = -2 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

d.Ta có: x² - 2√3 x - √3 = 2x² +2x +√3

⇔ x² - 2√3 x - √3 - 2x² -2x - √3 =0

⇔ x² +2x +2√3 x +2√3 =0

⇔ x² + 2(1 +√3 )x + 2√3 =0

Δ' = b’² – ac= (1+ √3 )² – 1. 2√3 = 1 + 2√3 + 3 -2√3 = 4 > 0

√Δ' = √4 =2

Vậy với x=1 - √3 hoặc x = - 3 - √3 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

e.Ta có: √3 x² + 2√5 x - 3√3 = -x² - 2√3 x +2√5 +1

⇔ √3 x² + 2√5 x - 3√3 + x² + 2√3 x - 2√5 – 1= 0

⇔ (√3 +1)x² + (2√5 + 2√3 )x -3√3 - 2√5 – 1= 0

⇔ (√3 +1)x² + 2(√5 + √3 )x -3√3 - 2√5 – 1= 0

Δ' = b’² – ac= (√3 + √5 )² – (√3 +√1)( -3√3 - 2√5 – 1)

= 5 + 2√15 +3+9 +2√15 + √3 +3√3 +2√5 + 1

=18 +4√15 +4√3 +2√5

= 1 + 12 + 5 + 2.2√3 + 2√5 + 2.2√3 .√5

= 1 + (2√3 )² + (√5 )² + 2.1.2√3 +2.1.√5 + 2.2√3 .√5

= (1 +2√3 +√5 )² > 0

Bài 29 trang 55 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình dưới). Khi nhảy độ cao h từ người đó đến mặt nước (tính bằng mét ) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức : h= - (x -1)² +4 . Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu:

a. Khi vận động viên ở độ cao 3m?

b. Khi vận động viên chạm mặt nước?

Lời giải:

Khi vận động viên ở độ cao 3m nghĩa là h =3m

Ta có: 3 =- (x – 1)² + 4 ⇔ (x – 1)² – 1=0 ⇔ x² – 2x = 0

⇔ x(x – 2) = 0 ⇔ x=0 hoặc x – 2 =0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Vậy x = 0m hoặc x = 2m

Khi vận động viên chạm mặt nước nghĩa là h = 0m

Ta có: 0 = - (x – 1)² + 4 ⇔ x² -2x -3 =0

Δ' = b’² – ac = (-1)² -1.(-3) =1 +3 = 4 > 0

Vì khoảng cách không thể mang giá trị âm nên x=3m

Bài 30 trang 56 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ):

a.16x² – 8x +1=0 b.6x² – 10x -1 =0

c. 5x² +24x +9 =0 d.16x² – 10x +1 =0

Lời giải:

a) 16x² – 8x +1=0

Ta có: Δ' = (-4)² – 16.1 = 16 -16 =0

Phương trình có nghiệm kép :

c) 5x² +24x +9 =0

Ta có: Δ' =12² -5.9 =144 - 45 =99 > 0

√Δ' = √99 =3√11

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Bài 31 trang 56 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của x thì giá trị của hai hàm số bằng nhau?

Lời giải:

Bài 32 trang 56 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của m thì :

a. Phương trình 2x² – m²x +18m = 0 có một nghiệm x = -3

b. Phương trình mx² – x – 5m² = 0 có một nghiệm x = -2

Lời giải:

a) Thay x=-3 vào phương trình 2x² – m²x +18m =0 ta được:

2(-3)² - m²(-3) + 18m =0 ⇔ 3m² +18m+18 =0

⇔ m² + 6m +6 = 0 (có hệ số a = 1, b = 6 nên b’ = 3; c = 6)

Δ' = 3² -1.6 = 9 -6 =3 > 0

√Δ' = √3

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy với m = -3 + √3 hoặc m = -3 - √3 thì phương trình đã cho có nghiệm x = -3

b) Thay x = -2 vào phương trình mx² – x – 5m² = 0 ta được:

m(-2)² – (-2) – 5m² = 0

⇔ - 5m² + 4m + 2 = 0

⇔ 5m² – 4m - 2 = 0 (Có a = 5; b = -4 nên b’ = - 2; c = - 2)

Δ' = (-2)² -5.(-2) = 4 + 10 = 14 > 0

√Δ' = √14

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Bài 33 trang 56 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

a. x² – 2(m+3)x + m² + 3 = 0

b.(m+1)x² + 4mx + 4m - 1 = 0

Lời giải:

a. x² – 2(m+3)x + m²+3=0 (1)

Ta có: Δ' = [-(m+3)]² -1.(m² +3) = m² + 6m + 9 – m² - 3

= 6m +6

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

Δ' > 0 ⇔ 6m + 6 > 0 ⇔ 6m > -6 ⇔ m > -1

Vậy m > -1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

b. (m+1)x²+4mx+4m -1 =0 (2)

Ta có: Δ' = (2m)² – (m +1)(4m -1) = 4m² – 4m² + m – 4m +1

= 1 – 3m

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

*m +1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1

và *Δ' > 0 ⇔ 1 -3m > 0 ⇔ 3m < 1 ⇔ m < 1/3

Vậy m < 1/3 và m ≠ -1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Bài 34 trang 56 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có nghiệm kép

a. 5x² + 2mx – 2m +15 =0

b. mx² – 4(m -1)x -8 =0

Lời giải:

a. 5x² + 2mx – 2m +15 =0 (1)

Ta có: Δ'=m² – 5.(-2m +15) = m² +10m -75

Phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

Δ'= 0 ⇔ m² + 10m – 75 = 0

Δ'm = 5² -1.(-75) = 25 +75 = 100 > 0

√(Δ'm) = √100 =10

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy m =5 hoặc m=-15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép

b. mx² – 4(m -1)x -8 =0 (2)

Phương trình (2) có nghiệm kép khi và chỉ khi: m≠ 0 và Δ'=0

Ta có: Δ'=[-2(m-1)]² – m(-8)=4(m² -2m +1) +8m

=4m²– 8m +4 +8m = 4m² +4

Vì 4m² +4 luôn luôn lớn hơn 0 nên Δ' không thể bằng 0 .Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép

Bài 1 trang 56 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có ∆’ = 0. Điều nào sau đây là đúng?