Sách bài tập Toán 8 Ôn tập chương 4 phần Đại số

Bài 71 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho các bất đẳng thức:

a > b; a < b; c > 0; c < 0; a + c < b + c; a + c > b + c; ac < bc; ac > bc

Hãy điển các bất đẳng thức thích hợp vào chỗ trống (...) trong câu sau: Nếu……… và………. thì………..

Lời giải:

Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc

Nếu a > b và c > 0 thì a + c > b + c

Nếu a > b và c < 0 thì a + c > b + c

Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc

Nểu a < b và c > 0 thì ac < bc

Nếu a < b và c > 0 thì a + c < b + c

Nếu a < b và c < 0 thì ac > bc

Nếu a < b và c < 0 thì a + c < b + c

Bài 72 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a > b, chứng tỏ:

a. 3a + 5 > 3b + 2

b. 2 – 4a < 3 – 4b

Lời giải:

a. Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + 5 > 3b + 5 (1)

Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2

b. Ta có: a > b ⇔ -4a < -4b ⇔ 3 – 4a < 3 – 4b (1)

Mặt khác: 2 – 4a < 3 – 4a (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b

Bài 73 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2: a. Chứng tỏ 2,99 là nghiệm của bất phương trình 3 > x. Hãy kể ra bốn số lớn hơn 2,99 là nghiệm của bất phương trình đó.

b. Chứng tỏ 4,01 là nghiệm của bất phương trình 4 < x. Hãy kể ra ba số nhỏ hơn 4,01 là nghiệm của bất phương trình đó.

Lời giải:

a. Ta có 2,99 là nghiệm của bất phương trình x < 3. Bốn số lớn hơn 2,99 là nghiệm của bất phương trình là: 2,999; 2,998; 2,997; 2,996.

b. Ta có 4,01 là nghiệm của bất phương trình x > 4. Ba số nhỏ hơn 4,01 là nghiệm của bất phương trình là: 4,003; 4,002; 4,001.

Bài 74 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số.

a. 2(3x – 1) – 2x < 2x + 1

b. 4x – 8 ≥ 3(3x – 2) + 4 – 2x

Lời giải:

a. Ta có: 2(3x – 1) – 2x < 2x + 1

      ⇔ 6x – 2 – 2x < 2x – 1

       ⇔ 6x – 2x – 2x < -1 + 2

       ⇔ 2x < 1

       ⇔ x < 1/2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x < 1/2 }

b. Ta có: 4x – 8 ≥ 3(3x – 2) + 4 – 2x

       ⇔ 4x – 8 ≥ 9x – 6 + 4 – 2x

       ⇔ 4x – 9x + 2x ≥ - 6 + 4 + 8

      ⇔ -3x ≥ 6

      ⇔ x ≤ -2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x ≤ -2}

Bài 75 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Giải các bất phương trình:

Lời giải:

      ⇔ 10x + 7 < 3x – 7

      ⇔ 10x – 3x < -7 – 7

      ⇔ 7x < -14

      ⇔ x < -2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x < -2}

b. Ta có:

      ⇔ 6 + 2 + 4x > 2x – 1 – 12

      ⇔ 4x – 2x > -1 – 12 – 6 – 2

      ⇔ 2x > -21

      ⇔ x > -10,5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x > -10,5}

Bài 76 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Một người đi bộ quãng đường dài 18km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h, về sau đi với vận tốc 4km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h.

Lời giải:

Gọi x (km) là đoạn đường người đó đi với vận tốc 5km/h. ĐK: x < 18.

Khi đó đoạn đường người đó đi với vận tốc 4km/h là 18 – x(km)

Thời gian đi với vận tốc 5km/h là x/5 giờ

Thời gian đi với vận tốc 4km/h là (18 - x)/4 giờ.

Vì thời gian đi hết đoạn đường không quá 4 giờ nên ta có bất phương trình: x/5 + (18 - x)/4 ≤ 4.

Ta có: x/5 + (18 - x)/4 ≤ 4

      ⇔ x/5 .20 + (18 - x)/4 .20 ≤ 4.20

      ⇔ 4x + 90 – 5x ≤ 80

      ⇔ 4x – 5x ≤ 80 – 90

      ⇔ -x ≤ -10

      ⇔ x ≥ 10

Vậy đoạn đường đi với vận tốc 5km/h ít nhất là 10km.

Bài 77 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình:

a. |2x| = 3x – 2

b. |-3,5x| = 1,5x + 5

c. |x + 15| = 3x – 1

d. |2 – x| = 0,5x – 4

Lời giải:

a. Ta có: |2x| = 2x khi 2x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

       |2x| = -2x khi 2x < 0 ⇔ x < 0

Ta có: 2x = 3x – 2

      ⇔ 2x – 3x = -2

       ⇔ x = 2

Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên 2 là nghiệm của phương trình.

       -2x = 3x – 2

       ⇔ -2x – 3x = -2

       ⇔ x = 2/5

Giá trị x = 2/5 không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên loại.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}

b. Ta có: |-3,5x| = -3,5x khi -3,5x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

       |-3,5x| = 3,5x khi -3,5x < 0 ⇔ x > 0

Ta có: -3,5x = 1,5x + 5

      ⇔ -3,5x – 1,5x = 5

      ⇔ -5x = 5

      ⇔ x = -1

Giá trị x = -1 thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên -1 là nghiệm của phương trình.

       3,5x = 1,5x + 5

       ⇔ 3,5x – 1,5x = 5

       ⇔ 2x = 5

       ⇔ x = 2,5

Giá trị x = 2,5 thỏa mãn điều kiện x > 0 nên 2,5 là nghiệm của phương trình.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1; 2,5}

c. Ta có: |x + 15| = x + 15 khi x + 15 ≥ 0 ⇔ x ≥ -15

       |x + 15| = -x – 15 khi x + 15 < 0 ⇔ x < -15

Ta có: x + 15 = 3x – 1

      ⇔ x – 3x = -1 – 15

      ⇔ -2x = -16

      ⇔ x = 8

Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x ≥ -15 nên 8 là nghiệm của phương trình.

       -x – 15 = 3x – 1

       ⇔ -x – 3x = -1 + 15

       ⇔ -4x = 14

       ⇔ x = -3,5

Giá trị x = -3,5 không thỏa mãn điều kiện x < -15 nên loại.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {8}

d. Ta có: |2 – x| = 2 – x khi 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2

       |2 – x| = x – 2 khi 2 – x < 0 ⇔ x > 2

Ta có: 2 – x = 0,5x – 4

      ⇔ -x – 0,5x = -4 + 2

      ⇔ 0,5x = -2

      ⇔ x = -4

Giá trị x = -4 thỏa mãn điều kiện x ≤ 2 nên loại.

       x – 2 = 0,5x – 4

       ⇔ -x – 0,5x = -4 - 2

       ⇔ -1,5x = -2

       ⇔ x = 4

Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x > 2 nên loại.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ∅.

Bài 78 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Chứng tỏ rằng, trong một tam giác độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi.

Lời giải:

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác.

Chu vi tam giác là a + b + c.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

      a < b + c

      ⇔ a + a < a + b + c

      ⇔ 2a < a + b + c

      ⇔ a < (a + b + c)/2

Tương tự:

      b < a + c

      ⇔ b + b < a + b + c

      ⇔ 2b < a + b + c

      ⇔ b < (a + b + c)/2

      c < a + b

      ⇔ c + c < a + b + c

      ⇔ 2c < a + b + c

      ⇔ c < (a + b + c)/2

Vậy trong một tam giác độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi.

Bài 79 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Với số m và số n bất kì, chứng tỏ rằng:

a. (m + 1)² ≥ 4m

b. m² + n² + 2 ≥ 2(m + n)

Lời giải:

a. Ta có: (m – 1)² ≥ 0

       ⇔ (m – 1)² + 4m ≥ 4m

      ⇔ m² – 2m + 1 + 4m ≥ 4m

       ⇔ m² + 2m + 1 ≥ 4m

      ⇔ (m + 1)² ≥ 4m

b. Ta có: (m – 1)² ≥ 0; (n – 1)² ≥ 0

       ⇒ (m – 1)² + (n – 1)² ≥ 0

       ⇔ m² – 2m + 1 + n² – 2n + 1 ≥ 0

       ⇔ m² + n² + 2 ≥ 2(m + n)

Bài 80 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a > 0 và b > 0, chứng tỏ rằng:

Lời giải:

Ta có: (a – b)² ≥ 0

      ⇔ a² + b² – 2ab ≥ 0

      ⇔ a² + b² – 2ab + 2ab ≥ 2ab

      ⇔ a² + b² ≥ 2ab

Vì a ≥ 0, b ≥ 0 nên ab ≥ 0 ⇒ 1/ab ≥ 0

       (a² + b²).1/ab ≥ 2ab.1/ab

       ⇔ a/b + b/a ≥ 2

       ⇔ 2 + a/b + b/a ≥ 2 + 2

       ⇔ 2 + a/b + b/a ≥ 4

       ⇔ 1 + 1 + a/b + b/a ≥ 4

      ⇔ a/a + b/b + a/b + b/a ≥ 4

      ⇔ a(1/a + 1/b ) + b(1/a + 1/b ) ≥ 4

      ⇔ (a + b)(1/a + 1/b ) ≥ 4

Bài 81 trang 62 sách bài tập Toán 8 Tập 2: . Chứng tỏ diện tích của hình vuông có cạnh 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật có cùng chu vi.

Lời giải:

Chu vi hình vuông là 4.10 = 40 (m)

Suy ra, chu vi hình chữ nhật là 40(m)

Gọi x (m) là chiều rộng hình chữ nhật. Điều kiện: x < 20.

Khi đó chiều dài hình chữ nhật là 20 – x (m).

Diện tích hình chữ nhật là x(20 – x) (m²).

Vậy ta cần chứng minh: 10² ≥ x(20 – x)

Ta có: (10 – x)² ≥ 0

       ⇔ 10² – 20x + x² ≥ 0

       ⇔ 10² ≥ 20x – x²

       ⇔ 10² ≥ x(20 – x)

Vậy diện tích hình vuông cạnh 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật cùng chu vi.

Bài 82 trang 62 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Giải các bất phương trình:

a. 3(x – 2)(x + 2) < 3x² + x

b. (x + 4)(5x – 1) > 5x² + 16x + 2

Lời giải:

a. Ta có: 3(x – 2)(x + 2) < 3x² + x

       ⇔ 3(x² – 4) < 3x² + x

       ⇔ 3x² – 12 < 3x² + x

       ⇔ 3x² – 3x² – x < 12

       ⇔ -x < 12

       ⇔ x > -12

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x > -12}

b. Ta có: (x + 4)(5x – 1) > 5x² + 16x + 2

       ⇔ 5x² – x + 20x – 4 > 5x² + 16x + 2

       ⇔ 5x² – x + 20x – 5x² – 16x > 2 + 4

       ⇔ 3x > 6

       ⇔ x > 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x > 2}

Bài 83 trang 62 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Giải các bất phương trình:

Lời giải:

a. Ta có:

      ⇔ 20x² – 12x + 15x + 5 < 20x² + 10x – 30

      ⇔ 20x² – 12x + 15x – 20x² – 10x < -30 – 5

      ⇔ -7x < -35

      ⇔ x > 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x > 5}

b. Ta có:

      ⇔ 20x – 80 – 12x² – 6x > 4x – 12x² – 15x

      ⇔ 20x – 12x² – 6x – 4x + 12x² + 15x > 80

      ⇔ 25x > 80

      ⇔ x > 3,2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x > 3,2}

Bài 84 trang 62 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Với giá trị nào của x thì:

a. Giá trị của biểu thức không lớn hơn giá trị của biểu thức

b. Giá trị của biểu thức không nhỏ hơn giá trị của biểu thức

Lời giải:

a. Giá trị của biểu thức không lớn hơn giá trị của biểu thức nghĩa là ≤

Ta có:

      ⇔ 2x – 3 + 5x² – 10x ≤ 5x² – 14x + 21

      ⇔ 2x + 5x² – 10x – 5x² + 14x ≤ 21 + 3

      ⇔ 6x ≤ 24

      ⇔ x ≤ 4

Vậy với x ≤ 4 thì giá trị của biểu thức không lớn hơn giá trị của biểu thức

b. Giá trị của biểu thức không nhỏ hơn giá trị của biểu thức nghĩa là ≥

Ta có:

      ⇔ 12x + 2 + 3x + 9 ≥ 30x + 18 + 48 – 20x

      ⇔ 12x + 3x – 30x + 20x ≥ 18 + 48 – 2 – 9

      ⇔ 5x ≥ 55

      ⇔ x ≥ 11

Vậy với x ≥ 11 thì giá trị của biểu thức không nhỏ hơn giá trị của biểu thức

Bài 85 trang 62 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tìm x sao cho:

a. –x² < 0

b. (x – 1)x < 0

Lời giải:

a. Ta có: -x² < 0 ⇔ x² > 0

Mọi giá trị x ≠ 0 đều là nghiệm của bất phương trình.

Tập hợp các giá trị của x là {x ∈ R|x ≠ 0}

b. Trường hợp 1: x – 1 > 0 và x < 0

Ta có: x – 1 > 0 ⇔ x > 1 và x < 0

Điều này không xảy ra: loại.

Trường hợp 2: x – 1 < 0 và x > 0

Ta có: x – 1 < 0 ⇔ x < 1 và x > 0

Suy ra: 0 < x < 1

Vậy tập hợp các giá trị của x là {x|0 < x < 1}

Bài 86 trang 62 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tìm x sao cho:

a. x² > 0

b. (x – 2)(x – 5) > 0

Lời giải:

a. Với x² > 0 thì mọi x khác 0 đều thỏa mãn bài toán.

Tập hợp các giá trị của x là {x ∈ R|x ≠ 0}

b. Trường hợp 1: x – 2 > 0 và x – 5 > 0

Ta có: x – 2 > 0 ⇔ x > 2

x – 5 > 0 ⇔ x > 5

Suy ra: x > 5

Trường hợp 2: x – 2 < 0 và x – 5 < 0

Ta có: x – 2 < 0 ⇔ x < 2

x – 5 < 0 ⇔ x < 5

Suy ra: x < 2

Vậy với x > 5 hoặc x < 2 thì (x – 2)(x – 5) > 0.

Bài 87 trang 62 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Với giá trị nào của x thì:

a. (x - 2)/(x - 3) > 0

b. (x + 2)/(x - 5) < 0

Lời giải:

a. Trường hợp 1: x – 2 > 0 và x – 3 > 0

Ta có: x – 2 > 0 ⇔ x > 2

x – 3 > 0 ⇔ x > 3

Suy ra: x > 3

Trường hợp 2: x – 2 < 0 và x – 3 < 0

Ta có: x – 2 < 0 ⇔ x < 2

x – 3 < 0 ⇔ x < 3

Suy ra: x < 2

Vậy với x > 3 hoặc x < 2 thì (x - 2)/(x - 3) > 0

b. Trường hợp 1: x + 2 > 0 và x – 5 < 0

Ta có: x + 2 > 0 ⇔ x > -2

x – 5 < 0 ⇔ x < 5

Suy ra: -2 < x < 5

Trường hợp 2: x + 2 < 0 và x – 5 > 0

Ta có: x + 2 < 0 ⇔ x < -2

x – 5 > 0 ⇔ x > 5

Trường hợp trên không xảy ra.

Vậy với -2 < x < 5 thì (x + 2)/(x - 5) < 0.

Bài 88 trang 62 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm:

a. |2x + 3| = 2x + 2

b. |5x – 3| = 5x – 5

Lời giải:

a. Ta có: |2x + 3| = 2x + 3 khi 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1,5

       |2x + 3| = -2x – 3 khi 2x + 3 < 0 ⇔ x < -1,5

Ta có: 2x + 3 = 2x + 2 ⇔ 0x = -1

Phương trình vô nghiệm.

       -2x – 3 = 2x + 2

       ⇔ -2x - 2x = 2 + 3

       ⇔ -4x = 5

       ⇔ x = -1,25

Giá trị x = -1,25 không thỏa mãn điều kiện x < -1,5 nên loại.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b. Ta có: |5x – 3| = 5x – 3 khi 5x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0,6

       |5x – 3| = 3 – 5x khi 5x – 3 < 0 ⇔ x < 0,6

Ta có: 5x – 3 = 5x – 5 ⇔ 0x = -2

Phương trình vô nghiệm.

       3 – 5x = 5x – 5

       ⇔ -5x – 5x = -5 – 3

       ⇔ -10x = -8

       ⇔ x = 0,8

Giá trị x = 0,8 không thỏa mãn điều kiện x < 0,6 nên loại.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, chi tiết khác:

• Bài 1: Định lí Ta-lét trong tam giác
• Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét
• Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
• Bài 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập sgk Toán 8
• Lý thuyết & 700 Bài tập Toán 8 (có đáp án)
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---