Bài 11 trang 101 SBT Toán 9 Tập 2

Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Bài 11 trang 101 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Trên dây cung AB của một đường tròn O, lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

a) $\overset{⏜}{A E} = \overset{⏜}{F B}$ ;

b) $\overset{⏜}{A E} < \overset{⏜}{E F}$ .

Lời giải:

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác OAB cân tại O

=> $\hat{O A B} = \hat{O B A}$

Xét tam giác OAC và tam giác OBD có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

$\hat{O A B} = \hat{O B A}$ (cmt)

AC = BD (gt)

Do đó, tam giác OAC bằng tam giác OBD (cạnh – góc – cạnh)

=> $\hat{O_{1}} = \hat{O_{2}}$ (1)

Mặt khác, ta có:

Góc O₁ là góc ở tâm chắn cung nhỏ AE => $s đ \overset{⏜}{A E} = \hat{O_{1}}$ (2)

Góc O₂ là góc ở tâm chắn cung nhỏ BF => $s đ \overset{⏜}{B F} = \hat{O_{2}}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: $s đ \overset{⏜}{A E} = s đ \overset{⏜}{B F}$ nên $\overset{⏜}{A E} = \overset{⏜}{B F}$ .

Tam giác OAC bằng tam giác OBD (chứng minh phần a)

⇒ OC = OD

Do đó, tam giác OCD cân tại O

=> $\hat{O C D} = \hat{O D C} < 90^{o}$

Mà $\hat{O D C} + \hat{C D F} = 180^{o}$ (hai góc kề bù)

=> $\hat{C D F} > 90^{o}$

Xét tam giác CDF có:

$\hat{C D F} > 90^{o}$

⇒ CF > CD

Mà CD = AC

Nên CF > AC

Xét tam giác OAC và tam giác OCF có:

OA = OF (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

OC là cạnh chung

AC < CF (chứng minh trên)

=> $\hat{O_{1}} < \hat{O_{3}}$ (hai tam giác có 2 cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ ba không bằng nhau thì đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Mà:

Góc O₁ là góc ở tâm chắn cung nhỏ AE => $s đ \overset{⏜}{A E} = \hat{O_{1}}$

Góc O₃ là góc ở tâm chắn cung nhỏ EF => $s đ \overset{⏜}{E F} = \hat{O_{3}}$

Do đó: $s đ \overset{⏜}{A E} < s đ \overset{⏜}{E F} \Rightarrow \overset{⏜}{A E} < \overset{⏜}{E F}$ .

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước

Trang sau

bai-2-lien-he-giua-cung-va-day.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác