Bài 10 trang 23 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Bài 10 trang 23 Chuyên đề Toán 12: Một người muốn làm một thùng chứa hình trụ có nắp, có dung tích 500 dm³. Cần chọn bán kính đáy và chiều cao của thùng bằng bao nhiêu để tiết kiệm nguyên liệu nhất? Biết đáy và mặt xung quanh của thùng có độ dày như nhau và xác định trước.

Lời giải:

Bán kính và chiều cao của thùng chứa lần lượt là R và h (dm; R, h > 0).

Thể tích thùng chứa hình trụ là V = πR²h = 500 (dm³).

Suy ra $h = \frac{500}{π R^{2}}$ (dm).

Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của thùng chứa phải nhỏ nhất.

Diện tích toàn phần của thùng chứa hình trụ là

S = 2πRh + 2πR² = $2 π R \cdot \frac{500}{π R^{2}} + 2 π R^{2}$ = $\frac{1000}{R} + 2 π R^{2}$ (dm²).

Xét hàm số $S (R) = \frac{1000}{R} + 2 π R^{2}$ với R ∈ (0; + ∞).

Ta có $S^{'} (R) = 4 π R - \frac{1000}{R^{2}}$ ;

$S^{'} (R) = 0 \Leftrightarrow 4 π R - \frac{1000}{R^{2}} = 0 \Leftrightarrow 4 π R^{3} = 1000 \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{\frac{250}{π}}$ ∈ (0; + ∞).

Bảng biến thiên:

Bài 10 trang 23 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Từ bảng biến thiên, ta có $\min_{(0; + \infty)} S (R) = S (\sqrt[3]{\frac{250}{π}})$ , đạt được tại $R = \sqrt[3]{\frac{250}{π}}$

Với $R = \sqrt[3]{\frac{250}{π}}$ thì ta có $h = 2 \sqrt{\frac{π}{250}}$ .

Vậy với bán kính $R = \sqrt[3]{\frac{250}{π}}$ (dm) và đường cao $h = 2 \sqrt{\frac{π}{250}}$ (dm) thì tiết kiệm nguyên liệu làm thùng chứa nhất.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 1 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học