Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc

Trang trước Trang sau

Hoạt động 1 trang 49 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc (ảnh 1)

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của hypebol (H).

b) Hypebol (H) cắt trục Ox tại các điểm A₁, A₂. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA₁ và OA₂.

Lời giải:

a) Toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của hypebol (H) là: F₁(–c; 0) và F₂(c; 0) với $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

+) Vì A₁ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₁ có dạng $(x_{A_{1}}; 0) .$

Mà A₁ thuộc (H) nên $\frac{x_{_{A_{1}}}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{_{A_{1}}}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A_{1}} = a \\ x_{A_{1}} = - a \end{array} .$

Ta thấy A₁ nằm bên trái điểm O trên trục Ox nên $x_{A_{1}} < 0 \Rightarrow$ $x_{A_{1}} = - a$ $\Rightarrow$ A₁(–a; 0).

Khi đó OA₁ = $\sqrt{{(- a - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = \sqrt{{(- a)}^{2}} = a$ (vì a > 0).

Vậy OA₁ = a.

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $(x_{A_{2}}; 0) .$

Mà A₂ thuộc (H) nên $\frac{x_{_{A_{2}}}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{_{A_{2}}}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A_{2}} = a \\ x_{A_{2}} = - a \end{array} .$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_{2}} > 0 \Rightarrow$ $x_{A_{2}} = a$ $\Rightarrow$ A₂(a; 0).

Khi đó OA₂ = $\sqrt{{(a - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = \sqrt{a^{2}} = a$ (vì a > 0).

Vậy OA₂ = a.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học