Viết phương trình của conic (C) trong mỗi trường hợp sau

Bài 3 trang 64 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình của conic (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tiêu điểm F(8; 0), đường chuẩn Δ: x – 2 = 0 và tâm sai e = 2;

b) (C) có tiêu điểm F(–4; 0), đường chuẩn $Δ : x + \frac{25}{4} = 0$ và tâm sai $e = \frac{4}{5} .$

Lời giải:

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(8 - x)}^{2} + {(0 - y)}^{2}}}{| x - 2 |} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(8 - x)}^{2} + {(0 - y)}^{2}} = 2 | x - 2 |$

$\Leftrightarrow {(8 - x)}^{2} + {(0 - y)}^{2} = 4 {| x - 2 |}^{2}$

$\Leftrightarrow (64 - 16 x + x^{2}) + y^{2} = 4 (x^{2} - 4 x + 4)$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} - y^{2} = 48$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1 .$

Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1 .$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(- 4 - x)}^{2} + {(0 - y)}^{2}}}{| x + \frac{25}{4} |} = \frac{4}{5}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(- 4 - x)}^{2} + {(0 - y)}^{2}} = \frac{4}{5} | x + \frac{25}{4} |$

$\Leftrightarrow {(- 4 - x)}^{2} + {(0 - y)}^{2} = \frac{16}{25} {| x + \frac{25}{4} |}^{2}$

$\Leftrightarrow (16 + 8 x + x^{2}) + y^{2} = \frac{16}{25} (x^{2} + \frac{25}{2} x + \frac{625}{16})$

$\Leftrightarrow 16 + 8 x + x^{2} + y^{2} = \frac{16}{25} x^{2} + 8 x + 25$

$\Leftrightarrow \frac{9}{25} x^{2} + y^{2} = 9$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 .$

Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 .$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học