Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm trên BC

Trang trước Trang sau

Bài 13 trang 129 VTH Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi X và Y lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C xuống CI và BI. Chứng minh rằng:

a) DBXF, DCYE là các tứ giác nội tiếp.

b) Bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.

Lời giải:

Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm trên BC

a) Xét ∆BXI vuông tại X có đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của cạnh huyền BI. Do đó ba điểm B, X, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI.

Xét ∆BFI vuông tại X có đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của cạnh huyền BI. Do đó ba điểm B, F, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI.

Xét ∆BDI vuông tại X có đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của cạnh huyền BI. Do đó ba điểm B, D, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI.

Do đó 5 điểm D, B, X, F, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI, nên tứ giác DBXF là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh tương tự, ta cũng có 5 điểm D, C, Y, E, I cùng nằm trên đường tròn đường kính CI, nên tứ giác DCYE là tứ giác nội tiếp.

b) * Chứng minh tương tự câu a, ta có bốn điểm B, X, Y, C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC nên tứ giác BXYC là tứ giác nội tiếp.

Suy ra $\hat{Y X C} = \hat{Y B C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CY). (1)

Ta có tứ giác BXFI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BI nên $\hat{F X I} = \hat{F B I}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FI). (2)

Mặt khác, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) nên BI là đường phân giác của góc ABC, do đó $\hat{A B I} = \hat{I B C}$ hay $\hat{F B I} = \hat{Y B C} .$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{Y X C} = \hat{F X I}$ hay $\hat{Y X C} = \hat{F X C},$ do đó ba điểm X, F, Y thẳng hàng. (4)

* Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có: $\hat{X Y B} = \hat{X C B};$ $\hat{E Y I} = \hat{E C I};$ $\hat{E C I} = \hat{X C B} .$

Suy ra $\hat{X Y B} = \hat{E Y I}$ hay $\hat{X Y B} = \hat{E Y B}$ nên ba điểm X, E, Y thẳng hàng. (5)

Từ (4) và (5) suy ra bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.

Lời giải vở thực hành Toán 9 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm các bài giải vở thực hành Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác