Phương trình và hệ phương trình (Chuyên đề dạy thêm Toán 9)

Tài liệu Chuyên đề Phương trình và hệ phương trình trong Chuyên đề dạy thêm Toán 9 gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 9.

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 9 (cả 3 sách) bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Muốn giải phương trình $\left(a_{1}x+b_1\right)\left(a_{2}x+b_2\right)=0$, ta giải hai phương trình $a_{1}x+b_1=0$ và $a_{2}x+b_2=0$, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) 3x (x + 7) = 0;

b) (x - 5) (2x - 4) = 0.

Lời giải

a) Ta có: 3x (x + 7) = 0

3x = 0 hoặc x + 7 = 0

x = 0 hoặc x = -7.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = -7.

b) Ta có: (x - 5) (2x - 4) = 0

x - 5 = 0 hoặc 2x - 4 = 0

x = 5 hoặc x = 2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 5 và x = 2.

Chú ý: Trong nhiều trường hợp, để giải một phương trình, ta biến đổi để đưa phương trình đó về dạng phương trình tích.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) $x^2+7x=0.$

b) ${\left(3x+2\right)}^2-4x^2=0.$

Lời giải

a) Ta có: $x^2+7x=0$

x (x + 7) = 0

x = 0 hoặc x + 7 = 0

x = 0 hoặc x = -7

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = -7.

b) Ta có: ${\left(3x+2\right)}^2-4x^2=0$

(3x + 2 + 2x) (3x + 2 - 2x) = 0

(5x + 2) (x + 2) = 0

5x + 2 = 0 hoặc x + 2 = 0

x = $-\frac{2}{5}$ hoặc x = -2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = $-\frac{2}{5}$ và x = -2.

2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Tổng quát, ta có định nghĩa:

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn sao cho các phân thức chứa trong phương trình đều xác định gọi là điều kiện xác định của phương trình.

Nhận xét:

a) Để tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta đặt điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức chứa trong phương trình đều khác 0.

b) Những giá trị của ẩn không thoã mãn điều kiện xác định thì không thể là nghiệm của phương trình.

Một cách tổng quát, ta có cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu như sau:

Buớc 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.

Buớc 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Buớc 4: Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{2x-1}{x+3}=1$

b) $\frac{-2x}{2x+5}=\frac{1}{4-x}-1$

Lời giải

a) Điều kiện xác định của phương trình là x + 3 ≠ 0 hay x ≠ 3.

b) Ta có 2x + 5 ≠ 0 khi $x\ne \frac{-5}{2}$ và 4 - x ≠ 0 khi x ≠ 4.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{-5}{2}$; x ≠ 4.

Ví dụ 4. Giải các phương trình:

a) $\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-2}{x}=2$

b) $\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+1}=\frac{2x+5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.$

Lời giải

a) Điều kiện xác định: x ≠ 3 và x ≠ 0.

Ta có:

$\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-2}{x}=2$

$\frac{\left(x+3\right)x}{x\left(x-3\right)}+\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{x\left(x-3\right)}=\frac{2x\left(x-3\right)}{x\left(x-3\right)}$

$\left(x+3\right)x+\left(x-2\right)\left(x-3\right)=2x\left(x-3\right)$

$x^2+3x+x^2-3x-2x+6=2x^2-6x$

4x = -6

$x=-\frac{3}{2}$ (thoả mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=-\frac{3}{2}$.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ -1.

Ta có: $\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+1}=\frac{2x+5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

$3\left(x+1\right)+2\left(x-2\right)=2x+5$

$3x+3+2x-4=2x+5$

3x = 6

x = 2 (không thoả mãn).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Phương Trình Dạng $A\left(x\right).B\left(x\right)=0$

1. Phương pháp giải

- Giải hai phương trình A (x) = 0 và B (x) = 0.

- Lấy tất cả các nghiệm thu được.

- Viết tập hợp nghiệm S.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình:

a) (3x - 2)(4x + 5) = 0;

b) (2,3x - 6,9)(0,1x + 2) = 0;

c) (4x + 2)(x² + 1) = 0;

d) (2x + 7)(x - 5)(5x + 1) = 0.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) $\left(5x-3\right)\left(\frac{4x-1}{5}-\frac{2x+1}{3}\right)=0$;                       

b) $\left(\frac{2x-1}{3}-\frac{1-x}{3}\right)$$[\frac{2\left(x+1\right)}{5}-\left(2x+1\right)]=0$.

Dạng 2: Phương Trình Đưa Về Dạng Phương Trình Tích

1. Phương pháp giải:

- Chuyển tất cả các số hạng sang vế trái, vế phải bằng 0.

- Rút gọn rồi phân tích đa thức thu được ở vế trái thành nhân tử.

- Giải phương trình tích rồi kết luận.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:

a) 2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0;

b) (x² - 4) + (x - 2)(3 - 2x) = 0;

c) x³ - 3x² + 3x - 1 = 0;

d) x(2x - 7) - 4x + 14 = 0;

e) (2x - 5)² - (x + 2)² = 0;

f) x² - x - (3x - 3) = 0.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) x(2x - 9) = 3x(x - 5);

b) 0,5x(x - 3) = (x - 3)(1,5x - 1);

c) 3x - 15 = 2x(x - 5);

d) $\frac{3}{7}x-1=\frac{1}{7}x\left(3x-7\right).$

Ví dụ 3: Giải phương trình:

a) (x² - 2x + 1) - 4 = 0;

b) x² - x = -2x + 2;

c) 4x² + 4x + 1 = x²;

d) x² - 5x + 6 = 0.

Ví dụ 4: Giải phương trình:

a) 2x³ + 6x² = x² + 3x;

b) (3x - 1)(x² + 2) = (3x - 1)(7x - 10).

Dạng 3. Giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu

1. Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức.

- Giải phương trình không chứa ẩn ở mẫu.

- Kiểm tra ĐKXĐ.

- Viết tập nghiệm.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) $\frac{2x-5}{x+5}=3;$

b) $\frac{x^2-6}{x}=x+\frac{3}{2};$

c) $\frac{\left(x^2+2x\right)-(3x+6)}{x-3}=0;$

d) $\frac{5}{3x+2}=2x-1.$

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) $\frac{2x-1}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}$

b) $\frac{5x}{2x+2}+1=-\frac{6}{x+1}$

c) $x+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x^2}$

d) $\frac{x+3}{x+1}+\frac{x-3}{x}=2.$

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{1}{x-2}+3=\frac{3-x}{x-2};$

b) $\frac{3x-2}{x+7}=\frac{6x+1}{2x-3};$

c) $\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{4}{x^2-1};$

d) $2x-\frac{2x^2}{x+3}=\frac{4x}{x+3}+\frac{2}{7}.$

Ví dụ 4.

a) $\frac{1}{x-1}-\frac{3x^2}{x^3-1}=\frac{2x}{x^2+x+1}$

b) $\frac{3}{(x-1)(x-2)}+\frac{2}{(x-3)(x-1)}$$=\frac{1}{(x-2)(x-3)}$

c) $1+\frac{1}{x+2}=\frac{12}{8+x^3}$

d) $\frac{13}{(x-3)(2x+7)}+\frac{1}{2x+7}$$=\frac{6}{(x-3)(x+3)}.$

Ví dụ 5. Giải phương trình:

a) $\left(\frac{1}{x}+2\right)=\left(\frac{1}{x}+2\right)\left(x^2+1\right);$

b) ${\left(x+1+\frac{1}{x}\right)}^2={\left(x-1-\frac{1}{x}\right)}^2;$

................................

................................

................................

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Xem thêm các chuyên đề dạy thêm Toán lớp 9 hay khác:

• Chuyên đề Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

• Chuyên đề Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Chuyên đề Căn thức bậc và căn bậc ba

• Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

• Chuyên đề Bất đẳng thức và bất phương trình bậc nhất

• Chuyên đề Căn thức

• Chuyên đề Phương trình và hệ phương trình bậc nhất

• Chuyên đề Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

---