Phương pháp Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp

Với Phương pháp Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp môn Toán lớp 8 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 8.

A. Lý thuyết: 

- Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biến B 0, trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên

- Với A và B là hai đa thức tùy ý cùng một biến số (B ≠ 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R.

    Trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

 Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.

            R ≠ 0 thì phép chia A cho B là phép chia có dư.

Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B.

B. Các dạng bài:

Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia đa thức

1. Phương pháp giải: Có thể dùng các hằng đẳng thức đấng nhớ sau để rút gọn phép chia đa thức:

(A³ + B³) : (A + B) = A² - AB + B²

(A³ - B³) : (A - B) = A² + AB + B²

(A² - B²) : (A + B) = A - B 

2. Ví dụ minh hoạ: Áp dụng hẳng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép chia sau:

a, (8x³ + 1) : (2x + 1) = [(2x)³ + 1³] : (2x + 1)

= (2x)² - 2x.1 + 1²

= 4x² - 2x + 1 

b, (4x² - 4x + 1) : (1 - 2x)

= [(2x)² - 2.2x.1 + 1²] : (1 - 2x)

= (2x - 1)² : (1 - 2x)

= (2x - 1)² : [-(2x - 1)] 

= -(2x - 1)

= 1 - 2x 

Dạng 2: Tìm thương và số dư trong phép chia đa thức

1. Phương pháp giải: Từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A =  B.Q + R

2. Ví dụ minh họa: 

a, Cho hai đa thức A = x³ - x² - 5x - 3 và B = x - 3. Tìm dư R trong phép chia A cho B và viết A dưới dạng A = B.Q + R

b, Cho đa thức A = 3x⁴ + x³ + 6x - 5 và B = x² + 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B và viết A dưới dạng A = B.Q + R

Lời giải:  

a, Ta thực hiện phép chia sau:

(x³ - x² - 5x - 3) : (x - 3)

Kết luận:

Vậy số dư trong phép chia là 0

A = (x - 3)(x² + 2x + 1) + 0

b, Ta thực hiện phép chia sau:

(3x⁴ + x³ + 6x - 5) : (x² + 1)

Kết luận:

Vậy số dư trong phép chia là 5x - 2

A = (x² + 1)(3x² + x - 3) + (5x - 2)

Dạng 3: Tìm điều kiện để thực hiện phép chia đa thức

1. Phương pháp giải:

* Thực hiện phép chia A : B để tìm biểu thức dư R theo m

Để A chia hết cho B thì R = 0 => m

* Tìm số nguyên n để A chia hết cho B (với A , B là các biểu thức theo n)

- Thực hiện A : B tìm số dư là số nguyên k, thương là biểu thức Q

- Viết A = Q.B + k

- Để A chia hết cho B ⇔ k chia hết cho B ⇔ B là Ư(k) => n 

2. Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Tìm k để f(x) = x⁴ - 9x³ + 21x² + x + 1 chia hết cho g(x) = x – 2 

Lời giải Ta thực hiện phép chia sau:   

Để f(x) chia hết cho g(x) thì k + 30 = 0 ⇔ k = - 30. 

KL: Vậy với k = -30 thì f(x) chia hết cho g(x)

VD2: Tìm số nguyên x để đa thức A = 8x² - 4x + 1 chia hết cho đa thức B = 2x + 1

Giải: Ta thực hiện phép chia sau: 

Để A chia hết cho B thì 5 ⋮ (2x + 1) ⇔ (2x + 1) ∈ Ư(5)

2x + 1	5	-5	1	-1
x =	2 (TM)	-3 (TM)	0 (TM)	-1 (TM)

KL: Vậy x = {-3, -1, 0, 2} 

                                   

3, Bài tập tự luyện

Bài 1: Thực hiện phép chia sau:

a, (x³ - x² - 5x - 3) : ( x - 3)               

b, ( x⁴ + x³ - 6x² - 5x + 5) : (x² + x - 1)

c, (2x³ + 3x² - 6x + 5) : (x² + 2)         

d, (x² + 6x + 7) : (x – 3) 

Lời giải:   

a, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng x² + 2x + 1

b, Đa thức thương bằng x² - 5

c, Đây là phép chia dư với đa thức thương bằng 2x + 3 và dư ( - 10x -1) 

d, Đây là phép chia dư với đa thức thương bằng x + 9 và dư 34

Bài 2: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi tính: 

a, (2x⁴ - 5x² + x³ - 3 - 3x) : (x² - 3)

b, (-x³ + 2x⁴ - 4 - x² + 7x) : (x² + x - 1) 

c, (-x² + 6x³ - 26x + 21) : (2x – 3) 

Lời giải: 

a, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng 2x² + x + 1 

b, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng 2x² - 3x + 4 

c, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng 3x² + 4x - 7 

Bài 3: Sử dụng hẳng đẳng thức để thực hiện các phép chia sau: 

a, (x² + 2x + 1) : (x + 1)                     

b, (x³ - 8) : (x² + 2x + 4)

c, (x³ - 3x² + 3x - 1) : (x – 1)             

d, (8x³ + 27) : (2x + 3)

Lời giải: 

a, Đa thức thương bằng x + 1 

b, x – 2

c, (x – 1)² = x² - 2x + 1  

d, 4x² + 6x + 9 

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia:

a, (24x⁵ - 9x³ + 15x²) : 3x

b, (-8x⁵ + x³ - 2x²) : 2x²

c, (x⁴ + 4x² + 3) : (x² + 3) 

d, (x⁴ - 2x³ + 4x² - 4x + 4) : (x² - 2x + 2) 

Lời giải:   

a, 8x⁴ - 3x² + 5x 

b,

c, x² + 1 

d, x² + 2 

Bài 5: Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R, biết: 

a, A = 2x⁴ + x³ + 3x² + 4x + 9 và B = x² + 1 

b, A = 2x³ - 11x² + 19x - 6 và B = x² - 3x + 1 

c, A = 2x⁴ - x³ - x² - x + 1 và B = x² + 1  

Lời giải: 

a, Q = 2x² + x + 1 và R = 3x + 8

b, Q = 2x - 5 và R = 2x - 1

c, Q = 2x² - x - 3 và R = 4

Bài 6: Tìm k để:   

a, f(x) = x⁴ - 10x³ + 21x² + 8x + k chia hết cho g(x) = x + 2

b, f(x) = x⁴ - 19x³ + 25x² - 6x + k  chia hết cho g(x) = x – 3

c, f(x) = x⁴ - 8x³ + 24x² + 7x + k  chia hết cho g(x) = x + 4

d, f(x) = 3x⁴ - 7x³ + 11x² + x - k  chia hết cho g(x) = x – 4

Lời giải:

a, k = - 164

b, k = 225

c, k = -1124

d, k = 500

Bài 7: Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B, biết: 

a) A = x⁴ - 3x³ + 3x² + ax + b và B = x² - 3x + 4

b) A = x⁴ - 9x³ + 21x² + ax + b và B = x² - x - 2 

Lời giải:

a, a = 3, b = -4

b, a = 1, b = -30

Bài 8: Tìm giá trị nguyên của x để đa thức A chia hết cho đa thức B, biết: 

a, A = 3x³ + 8x² - 15x + 6 và B = 3x – 1

b, A = x³ + 4x² + 3x - 7 và B = x + 4

Lời giải:  

a, x = 0, x = 1

b, x = {-23, -5, -3, 15}

Bài 9: Tìm đa thức M, biết:

a) x³ - 5x² + x - 5 = (x - 5).M

b) (x² - 4x - 3).M = 2x⁴ - 13x³ + 14x² + 15x 

c) (x² + x + 1).M = x⁴ - x³ - 4x² - 5x - 3 

Lời giải:  

a, M = x² + 1 

b, M = 2x² - 5x 

c, M = x² - 2x - 3 

Bài 10: Tìm x biết:  

a) (8x² - 4x) : (-4x) - (x + 2) = 8

b) (2x⁴ - 3x³ + x²) : (-x²) + 4(x - 1)² = 0

Lời giải: 

a, x = -3 

b, x = 1, x =  

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
• Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải
• Phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử
• Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---