Chứng minh hai góc bằng nhau, tính số đo góc trong hình bình hành

Với Chứng minh hai góc bằng nhau, tính số đo góc trong hình bình hành môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

A. Phương pháp giải

1. Vẽ thêm hình bình hành bằng cách xác định một đoạn thẳng có trung điểm làm một đường chéo, sau đó chọn một trong hai giải pháp sau: 

• Vẽ thêm đường chéo thứ hai. 
• Kẻ thêm đường thẳng song song.

2. Áp dụng định lí đường trung bình của tam giác, định lý tổng ba góc trong tam giác, tổng các góc trong tứ giác.

3. Sử dụng tính chất cặp góc ở vị trí đồng vị hoặc so le của hai đường thẳng song song.

4. Sử dụng các tính chất của hình bình hành:

- Hai góc đối bằng nhau      

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

- Các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD có  . Số đo các góc của hình bình hành là:

Giải

Trong hình bình hành ABCD có: (tính chất),  (gt)

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:  

Ví dụ 2. Tính số đo các góc của hình bình hành ABCD biết .

Giải

Trong hình bình hành ABCD có:  (tính chất),

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:  

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC (AC < AB) có . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính góc BEF

Giải

Do F là trung điểm của BC theo giả thiết nên chọn BC là một đường chéo. Vẽ thêm điểm K sao cho F là trung điểm của DK thì tứ giác BDCK có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. Kết hợp với E là trung điểm của AD ta có FE là đường trung bình của ΔADK . 

Áp dụng tính chất về cạnh vào hình bình hành BDCK và giả thiết, ta được:

 

(vì trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau).          (1)

Lại có  , (vì AB // CK, hai góc ở vị trí so le trong). (2)

Từ (1), (2) suy ra

Áp dụng định lí đường trung bình vào ΔADK ta được FE//KA. 

Vậy  vì là góc đồng vị của FE//KA.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hãy chọn câu đúng. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu

Lời giải:

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi AB//CD; BC//AD nên C sai.

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi nên D đúng.

A, B sai vì chưa đủ điều kiện để kết luận.

Đáp án: D.

Câu 2. Tính các góc của hình bình hành ABCD biết:  .

Lời giải:

Tứ giác ABCD là hình bình hành.

 (tính chất hình bình hành)

 (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Vậy  (tính chất hình bình hành)

Đáp án: A.

Câu 3. Tính các góc của hình bình hành ABCD biết: .

Lời giải:

Tứ giác ABCD là hình bình hành.

  (2 góc trong cùng phía bù nhau)

 Mà  (gt)

Suy ra:  

Suy ra  (tính chất hình bình hành)

 

Suy ra  (tính chất hình bình hành)

Đáp án: C.

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có  số đo các góc của hình bình hành là:

Lời giải:

Trong hình bình hành ABCD có (tính chất) ,

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:    

Đáp án: B.

Câu 5. Tính số đo các góc của hình bình hành ABCD biết  . Ta được:

Lời giải:

Trong hình bình hành ABCD có:  (tính chất),

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:    

Đáp án: B.

Câu 6. Hai góc kề nhau của một hình bình hành không thể có số đo là:

Lời giải:

Trong hình bình hành có các góc đối bằng nhau và tổng các góc trong hình bình hành phải bằng 360° nên ta có: 

Do đó hai góc kề của hình bình hành không thể có số đo 40°;50° .

Đáp án: B.

Câu 7. Cho tam giác ABC có góc A tù. Trong góc A vẽ các đoạn thẳng AD, AE sao cho AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC. Gọi M là trung điểm của DE, H là giao điểm của AM và BC. Tính

Lời giải:

Do M là trung điểm của ED theo giả thiết nên chọn ED là một đường chéo. 

Vẽ thêm điểm I sao cho M là trung điểm của AI thì tứ giác AEID là hình bình hành. 

Do đó AD//EI, AD = EI. 

Xét tam giác ABC và EIA có: AC = EA; AB = AD = EI; ( vì cùng bù với  )

Suy ra nên mà (EI//AD, 2 góc ở vị trí so le trong) nên ta có .

Ta có  .

Mặt khác áp dụng định lí tổng các góc trong tam giác ABH có:

Đáp án: A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Tìm vị trí của một điểm để tổng hai đoạn thẳng ngắn nhất
• Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong hình bình hành
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui trong hình bình hành
• Cách chứng minh tứ giác là hình bình hành (hay, chi tiết)
• Cách vẽ hình đối xứng của một hình cho trước bằng đối xứng tâm

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---