Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 (hay, chi tiết)

Bài viết Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử.

Bài giảng: Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung - Cô Phạm Thị Huệ Chi (Giáo viên VietJack)

1. Khái niệm về phương pháp đặt nhân tử chung

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ứng dụng: Việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp ta có thể thu gọc biểu thức, tính nhanh và giải phương trình dễ dàng.

2. Phương pháp đặt nhân tử chung

+ Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

+ Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.

( lưu ý tính chất: A = -(-A)).

3. Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a, 4x² - 6x

b, 9x⁴y³ + 3x²y⁴

Lời giải:

a) Ta có : 4x² - 6x = 2x.2x - 3.2x = 2x( 2x - 3 ).

b) Ta có: 9x⁴y³ + 3x²y⁴ = 3x²y³.3x² + 3x²y³y = 3x²y³(3x² + 1)

1. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để phù hợp với các nhân tử.

2. Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a, 9x² - 1

b, x² + 6x + 9.

Lời giải:

a) Ta có: 9x² - 1 = ( 3x )² - 1² = ( 3x - 1 )( 3x + 1 )

(áp dụng hằng đẳng thức A² - B² = ( A - B )( A + B ) )

b) Ta có: x² + 6x + 9 = x² + 2.x.3 + 3² = ( x + 3 )².

(áp dụng hằng đẳng thức ( A + B )² = A² + 2AB + B² )

1. Phương pháp nhóm hạng tử

+ Ta vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khi không thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

+ Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thế phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.

+ Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

2. Chú ý

+ Với một đa thức, có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp.

+ Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối cùng (không còn phân tích được nữa).

+ Dù phân tích bằng cách nào thì kết quả cũng là duy nhất.

+ Khi nhóm các hạng tử, phải chú ý đến dấu của đa thức.

3. Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a, x² - 2xy + xy² - 2y³.

b, x² + 4x - y² + 4.

Lời giải:

a) Ta có x² - 2xy + xy² - 2y³ = ( x² - 2xy ) + ( xy² - 2y³ ) = x( x - 2y ) + y²( x - 2y )

= ( x + y² )( x - 2y )

b) Ta có x² + 4x - y² + 4 = ( x² + 4x + 4 ) - y² = ( x + 2 )² - y² = ( x + 2 - y )( x + y + 2 )

1. Phương pháp thực hiện

Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để vận dụng các phương pháp đã biết:

+ Đặt nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức

+ Nhóm nhiều hạng tử và phối hợp chúng

⇒ Để phân tích đa thức thành nhân tử.

2. Chú ý

Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc để đa thức trong ngoặc đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng.

3. Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

x² + 4x - 2xy - 4y + y².

2xy - x² - y² + 16.

Lời giải:

a) Ta có x² + 4x - 2xy - 4y + y² = ( x² - 2xy + y² ) + ( 4x - 4y ) = ( x - y )² + 4( x - y )

= ( x - y )( x - y + 4 ).

b) Ta có: 2xy - x² - y² + 16 = 16 - ( x² - 2xy + y² ) = 16 - ( x - y )²

= ( 4 - x + y )( 4 + x - y ).

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a, ( ab - 1 )² + ( a + b )²

b, x³ + 2x² + 2x + 1

c, x² - 2x - 4y² - 4y

Lời giải:

a) Ta có ( ab - 1 )² + ( a + b )² = a²b² - 2ab + 1 + a² + 2ab + b²

= a²b² + a² + b² + 1 = ( a²b² + a² ) + ( b² + 1 )

= a²( b² + 1 ) + ( b² + 1 ) = ( a² + 1 )( b² + 1 )

b) Ta có x³ + 2x² + 2x + 1 = ( x³ + 1 ) + ( 2x² + 2x )

= ( x + 1 )( x² - x + 1 ) + 2x( x + 1 ) = ( x + 1 )( x² + x + 1 )

c) Ta có x² - 2x - 4y² - 4y = ( x² - 4y² ) - ( 2x + 4y )

= ( x - 2y )( x + 2y ) - 2( x + 2y )

= ( x + 2y )( x - 2y - 2 ).

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau A = x⁶ - 2x⁴ + x³ + x² - x, biết x³ - x = 6.

Lời giải:

Ta có: A = x⁶ - 2x⁴ + x³ + x² - x = ( x⁶ - 2x⁴ + x² ) + ( x³ - x )

= ( x³ - x )² + ( x³ - x )

Với x³ - x = 6 = ( x³ - x )² + ( x³ - x ), ta có A = 6² + 6 = 36 + 6 = 42.

Vậy A = 42.

Bài 3: Tìm x biết

Lời giải:

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) A = x⁴ – 11x³ + 26x² – 22x + 48;

b) B = x⁵ + 3x⁴ + x³ − 11x² − 30x – 20.

Lời giải:

a) A = x⁴ – 8x³ – 3x³ + 24x² + 2x² – 16x – 6x + 48

= (x – 8)(x³ – 3x² + 2x – 6)

= (x – 8)(x – 3)(x² + 2).

b) B = x⁵ + 3x⁴ + x³ − 11x² − 30x – 20

= x⁵ – 5x³ + 3x⁴ – 15x² + 6x³ – 30x + 4x²  – 20

= (x² − 5)(x³ + 3x² + 6x + 4)

= (x² − 5)(x³ + 2x² + 4x + x² + 2x + 4)

= (x² − 5)(x² + 2x + 4) (x + 1).

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) A = x⁴ + 5x³ + 7x² + 5x + 6

b) B = x³ − 11x² + 10x

Lời giải:

a) A = x⁴ + 5x³ + 7x² + 5x + 6

= x⁴ + 3x³ + 2x³ + 6x² + x² + 3x + 2x + 6

= (x + 3)(x³ + 2x² + x + 2)

= (x + 3)(x³ + x + 2x²  + 2)

= (x + 3)(x² + 1)(x + 2).

b) B = x³ − 11x² + 10x

= x(x² − 11x+ 10)

= x(x² – x – 10x + 10)

= x(x – 1)(x – 10).

Bài 6. Tìm x, biết:

a) x³ − 5x² − 9x + 10 = –35

b) x⁵ − 4x³ + 5x² – 20 = 0

Lời giải:

a) x³ − 5x² − 9x + 10 = –35

x³ − 5x² − 9x + 45 = 0

x(x² – 9) – 5(x² – 9) = 0

(x – 5)(x² – 9) = 0

(x – 5)(x – 3)(x + 3) = 0

x – 5 = 0 hoặc x – 3 = 0 hoặc x + 3 = 0

x = 5 hoặc x = 3 hoặc x = –3

Vậy x ∈ {–3; 3; 5}.

b) x⁵ − 4x³ + 5x² – 20 = 0

x³(x² – 4) + 5(x² – 4) = 0

(x² – 4)(x³ + 5) = 0

(x + 2)(x – 2)(x³ + 5) = 0

x + 2 = 0 hoặc x – 2 = 0 hoặc x³ + 5 = 0

x = 2 hoặc x = – 2 hoặc x = $-\sqrt[3]{5}$.

Vậy $x\in \left\{-2;-\sqrt[3]{5};2\right\}$.

Bài 7. Cho P = x² + 11x + 24. Tìm x để P chia hết cho 4.

Lời giải:

P = x² + 11x + 24

= x² + 3x + 8x + 24

= (x + 3)(x + 8)

Nhận thấy, (x + 3) và (x + 8) không cùng lúc chẵn.

Nên P ⁝ 4 khi và chỉ khi (x + 3) ⁝ 4 hoặc (x + 8) ⁝ 4.

• Trường hợp 1: x + 3 ⁝ 4 nên x = 4k + 1 (k ∈ ℤ).

• Trường hợp 2: x + 8 ⁝ 4 nên x = 4h (h ∈ ℤ).

Bài 8. Tìm x, biết: x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24 = 0.

Lời giải:

x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24 = 0

x⁴ + x³ + 9x³ + 9x² + 26x² + 26x + 24x + 24 = 0

(x + 1)(x³ + 9x² + 26x + 24) = 0

(x + 1)( x³ + 2x² + 7x² + 14x + 12x + 24) = 0

(x + 1)(x + 2)(x² + 7x + 12) = 0

(x + 1)(x + 2)(x² + 3x + 4x + 12) = 0

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 0

Vậy x ∈ {–1; –2; –3; –4}.

Bài 9. Tìm nhân tử chung của các biểu thức:

a) A = $5x^3+16x^2+8x+16+\frac{3}{x}\text{}$;

b) B = $5x^4+21x^2+19+\frac{3}{x^2}$.

Bài 10. Cho biểu thức P = x⁴ + x³ + 2x + 2. Với giá trị nào của x thì P ⁝ 10?

Bài 11. Cho biểu thức P = x⁴ + 8x³ + 32x² + 256x. Với giá trị nào của x thì P ⁝ 16?

Bài 12. Tìm x, biết: $x^2+2x+5+\frac{7}{x-2}=0$.

Bài 13. Tìm nhân tử chung của biểu thức: P = 2x⁴ − 11x³ − 7x² + 51x + 45.

Bài giảng: Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung - Cô Vương Thị Hạnh (Giáo viên VietJack)

Bài giảng: Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức - Cô Vương Thị Hạnh (Giáo viên VietJack)

Bài giảng: Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử - Cô Vương Thị Hạnh (Giáo viên VietJack)

Bài giảng: Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp - Cô Vương Thị Hạnh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các phần lý thuyết, các dạng bài tập Toán lớp 8 có đáp án chi tiết hay khác:

• Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử
• Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
• Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
• Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
• Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---