Tính giá trị biểu thức có chứa lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính giá trị biểu thức có chứa lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính giá trị biểu thức có chứa lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ.

1. Phương pháp giải

- Để tính giá trị biểu thức có chứa luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ, ta cần nắm vững định nghĩa cũng như các phép tính với luỹ thừa như sau:

Với x, y ∈ ℚ và m, n ∈ ℕ:

• Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: $x^n=\underset{n\text{thua so x}}{\underbrace{x.x.\mathrm{...}.x}};$

• Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số: với x ≠ 0, m ≥ n ta có

x^m. xⁿ = x^{m + n};

x^m : xⁿ = x^{m – n}

• Luỹ thừa của một luỹ thừa: (x^m)ⁿ = x^{m. n}

• Luỹ thừa của một tích, một thương:

(x. y)ⁿ = xⁿ. yⁿ;

${\left(\frac{\text{x}}{\text{y}}\right)}^{\text{n}}=\frac{{\text{x}}^{\text{n}}}{{\text{y}}^{\text{n}}}$ (với y ≠ 0)

• Quy ước: x⁰ = 1 và x¹ = x (với x ≠ 0).

- Phương pháp biến đổi các luỹ thừa về dạng các lũy thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ hoặc cùng cả cơ số và số mũ:

• Nếu đưa về cùng cơ số: Ta thường chuyển các lũy thừa về lũy thừa dưới cơ số chung là ước chung nhỏ nhất khác 1 của các cơ số.

• Nếu đưa về cùng số mũ: Ta thường chuyển các lũy thừa về lũy thừa với số mũ chung là bội chung nhỏ nhất (hoặc ước chung lớn nhất) của các số mũ.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:

a) 8².2⁴;

b) 7¹².27⁴;

c) 2²³ : 4³;

d) (0,125)⁸.64⁴;

e) $\frac{{27}^4{.3}^2}{9^3}$;

f) $\frac{{\left(\frac{1}{8}\right)}^3{.64}^4}{4^3}$;

Hướng dẫn giải:

a) 8².2⁴ = (2³)².2⁴ = 2^3.2.2⁴ = 2⁶.2⁴ = 2^{6 + 4} = 2¹⁰.

b) 7¹².27⁴ = 7¹².(3³)⁴ = 7¹².3^3.4 = 7¹².3¹² = (7.3)¹² = 21¹².

b) 2²³ : 4³ = 2²³ : (2²)³ = 2²³ : 2^2.3 = 2²³ : 2⁶ = 2^{23 – 6} = 2¹⁷.

d) (0,125)⁸.64⁴ = (0,125)⁸.(8²)⁴ = (0,125)⁸.8^2.4 = (0,125)⁸.8⁸ = (0,125.8)⁸ = 1⁸.

e) $\frac{{27}^4{.3}^2}{9^3}=\frac{{\left(3^3\right)}^4{.3}^2}{{\left(3^2\right)}^3}=\frac{3^{3.4}{.3}^2}{3^{2.3}}=\frac{3^{12}{.3}^2}{3^6}=\frac{3^{12+2}}{3^6}=\frac{3^{14}}{3^6}=3^{14-6}=3^8$.

f) $\frac{{\left(\frac{1}{8}\right)}^3{.64}^4}{4^3}=\frac{\frac{1^3}{8^3}.{\left(2^6\right)}^4}{{\left(2^2\right)}^3}=\frac{\frac{2^{6.4}}{8^3}}{2^{2.3}}=\frac{\frac{2^{24}}{{\left(2^3\right)}^3}}{2^6}=\frac{\frac{2^{24}}{2^9}}{2^6}=\frac{2^{24-9}}{2^6}=\frac{2^{15}}{2^6}=2^{15-6}=2^9$.

Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=3^{19}.{\left(\frac{1}{9}\right)}^9$;

b) $B={\left(\frac{1}{16}\right)}^{14}:{\left(\frac{1}{4}\right)}^{28}$;

c) $C=\frac{2^5{.5}^5-{10}^6}{{3.5}^5}$;

d) $D=\frac{{\left(0,25\right)}^4{.2}^9+6}{2^5-16}$.

Hướng dẫn giải:

a) $A=3^{19}.{\left(\frac{1}{9}\right)}^9=3^{19}.\frac{1^9}{9^9}=\frac{3^{19}}{{\left(3^2\right)}^9}=\frac{3^{19}}{3^{2.9}}=\frac{3^{19}}{3^{18}}=3^{19-18}=3^1=3$.

b) $B={\left(\frac{1}{16}\right)}^{14}:{\left(\frac{1}{4}\right)}^{28}={\left(\frac{1^2}{4^2}\right)}^{14}:{\left(\frac{1}{4}\right)}^{28}={\left({\left(\frac{1}{4}\right)}^2\right)}^{14}:{\left(\frac{1}{4}\right)}^{28}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{2.14}:{\left(\frac{1}{4}\right)}^{28}$.

$={\left(\frac{1}{4}\right)}^{28}:{\left(\frac{1}{4}\right)}^{28}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{28-28}={\left(\frac{1}{4}\right)}^0=1$.

c) $C=\frac{2^5{.5}^5-{10}^6}{{3.5}^5}=\frac{{\left(2.5\right)}^5-{10}^1{.10}^5}{{3.5}^5}=\frac{{10}^5-{10.10}^5}{{3.5}^5}$.

$=\frac{{10}^5.\left(1-10\right)}{{3.5}^5}=\frac{{10}^5.\left(-9\right)}{{3.5}^5}=\frac{-9}{3}.{\left(\frac{10}{5}\right)}^5=-{3.2}^5=-3.32=-96$.

d) $D=\frac{{\left(0,25\right)}^4{.2}^9+6}{2^5-16}=\frac{{\left(\frac{1}{4}\right)}^4{.2}^9+6}{2^5-2^4}=\frac{\frac{1^4}{4^4}{.2}^9+6}{2^4.\left(2-1\right)}$.

$=\frac{\frac{1}{{\left(2^2\right)}^4}{.2}^9+6}{2^4.1}=\frac{\frac{2^9}{2^8}+6}{16}=\frac{2^{9-8}+6}{16}=\frac{2+6}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Rút gọn biểu thức 125³ : 25 dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ ta được kết quả là:

A. 5⁷;

B. 5⁸;

C. 5⁹;

D. 5¹⁰.

Bài 2. Giá trị của biểu thức $\frac{{125}^2{.25}^3}{5^4}$bằng:

A. 7⁵;

B. 5⁷;

C. 5⁸;

D. 8⁵.

Bài 3. Rút gọn biểu thức $\frac{{15}^8}{9^4}$ ta được kết quả là:

A. 3 125;

B. 32 768;

C. 6561;

D. 390 625.

Bài 4.Rút gọn biểu thức 4⁹.5²⁷ bằng:

A. 20³;

B. 20⁹;

C. 500³;

D. 500⁹.

Bài 5. Giá trị của biểu thức $\frac{6^3+{2.6}^2+2^3}{37}$ bằng:

A. 6;

B. 8;

C. 10;

D. 12.

Bài 6. Cho biểu thức M = $3^2.\frac{1}{243}{.81}^2.\frac{1}{3^3}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. M = 3;

B. M = 9;

C. M = 27;

D. M = 1.

Bài 7. Cho $F=\frac{{2.6}^7+6^8}{2^5.\left(9^4-{2.3}^7+3^8\right)}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. F = 8;

B. F < 6;

C. F² = 8;

D. |F| = 10.

Bài 8. Cho $G=\frac{4^5{.9}^4-{2.6}^9}{2^{10}{.3}^8+6^8.20}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $G=\frac{1}{3}$;

B. $\left(G\right)=\frac{1}{3}$;

C. G > 0;

D. G = –3.

Bài 9. Viết biểu thức 6⁸.12⁵ dưới dạng 2^a.3^b thì giá trị của a + b là:

A. 13;

B. 31;

C. 25;

D. 19.

Bài 10. Cho số a = $2^5{.5}^8$. Tìm số các chữ số của a.

A. 7 chữ số;

B. 8 chữ số;

C. 9 chữ số;

D. 10 chữ số.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Tìm cơ số hoặc số mũ của một lũy thừa

• Ứng dụng của các phép tính lũy thừa của số hữu tỉ vào bài toán thực tế

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---