Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.

1. Phương pháp giải

Để nhận biết được đường trung tuyến, trọng tâm của tam giác, ta cần nắm được các khái niệm sau:

− Đường trung tuyến trong một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Một tam giác bất kì có ba đường trung tuyến.

− Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này gọi là trọng tâm của tam giác.

* Tính chất trọng tâm của tam giác: Trọng tâm cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC, AM và BN cắt nhau tại G. Tính tỉ số $\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AM}}.$

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AM}}=\frac{2}{3}$

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Trên tia đối của tia GA lấy điểm G' sao cho GG' = GA. Vẽ đường trung tuyến CE của tam giác ABC. Chứng minh $\mathrm{BG}\text{'}=\frac{2}{3}\mathrm{CE}$

Hướng dẫn giải:

Kẻ đường trung tuyến AD của ΔABC. Khi đó D là trung điểm của BC.

Ta có: $\mathrm{GD}=\frac{1}{2}\mathrm{AG}$ (do G là trọng tâm của tam giác)

Mà AG = GG' nên $\mathrm{GD}=\frac{1}{2}\mathrm{GG}\text{'}$

Suy ra DG' = DG.

Xét ΔBDG' và ΔCDG có:

DB = DC (do D là trung điểm của BC);

$\widehat{\mathrm{BDG}\text{'}}=\widehat{\mathrm{CDG}}$ (hai góc đối đỉnh);

DG' = DG (chứng minh trên)

Do đó ΔBDG' = ΔCDG (c.g.c)

Suy ra BG' = CG (hai cạnh tương ứng)

Lại có $\mathrm{CG}=\frac{2}{3}\mathrm{CE}$ (do G là trọng tâm ΔABC) nên $\mathrm{BG}\text{'}=\frac{2}{3}\mathrm{CE}.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến;

B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm;

C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó;

D. Một tam giác có hai trọng tâm.

Bài 2. Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng … độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”.

A. $\frac{2}{3}$;

B. $\frac{3}{2}$;

C. 3;

D. 2.

Bài 3. Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9 cm và G là trọng tâm. Độ dài đoạn AG là:

A. 4,5 cm;

B. 3 cm;

C. 6 cm;

D. 4 cm.

Bài 4. Cho hình vẽ sau:

Biết AM = 3 cm. Độ dài đoạn thẳng GM là:

A. 1 cm;

B. 2 cm;

C. 3 cm;

D. 4,5 cm.

Bài 5. Cho ∆ABC có G là trọng tâm như hình vẽ.

Biết AG = 4x + 6 và AM = 9x. Giá trị của x là

A. x = 4;

B. x = 1;

C. x = 2;

D. x = 3.

Bài 6. Cho ∆ABC có đường trung tuyến AD. Trên đoạn thẳng AD lấy hai điểm E, G sao cho AG = GE = ED. Trọng tâm của ∆ABC là điểm:

A. B;

B. E;

C. G;

D. D.

Bài 7. Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AX, BY, CZ cắt nhau tại G. Biết GA = GB = GC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. GX > GY > GZ;

B. GX = GY = GZ;

C. GX < GY = GZ;

D. GX = GY > GZ.

Bài 8. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\mathrm{BD}+\mathrm{CE}<\frac{3}{2}\mathrm{BC}$;

B. $\mathrm{BD}+\mathrm{CE}>\frac{3}{2}\mathrm{BC}$;

C. $\mathrm{BD}+\mathrm{CE}=\frac{3}{2}\mathrm{BC}$;

D. $\mathrm{BD}+\mathrm{CE}=\mathrm{BC}$.

Bài 9. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DB. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC; CE. Gọi I; K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN và BE. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. BI = IK > KE;

B. BI > IK > KE;

C. BI = IK = KE;

D. BI < IK < KE.

Bài 10. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Gọi G là điểm thuộc tia AM sao cho AG = 2GM. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $S_{\mathrm{\Delta GAB}}=S_{\mathrm{\Delta GBC}}=S_{{\mathrm{\Delta GAC}}_{}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathrm{\Delta ABC}};$

B. $S_{\mathrm{\Delta GAB}}=S_{\mathrm{\Delta GBC}}=S_{{\mathrm{\Delta GAC}}_{}}=\frac{1}{4}{S}_{\mathrm{\Delta ABC}};$

C. $S_{\mathrm{\Delta GAB}}=S_{\mathrm{\Delta GBC}}=S_{{\mathrm{\Delta GAC}}_{}}=\frac{3}{8}{S}_{\mathrm{\Delta ABC}};$

D. $S_{\mathrm{\Delta GAB}}=S_{\mathrm{\Delta GBC}}=S_{{\mathrm{\Delta GAC}}_{}}=\frac{1}{6}{S}_{\mathrm{\Delta ABC}}.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác

• Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều

• Nhận biết đường phân giác và đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)

• Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng

• Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---