Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.

1. Phương pháp giải

– Để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau ta chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác.

– Để tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc ta dựa vào tính chất trọng tâm và tính chất đường phân giác của tam giác.

– Một số định lí và tính chất:

+ Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.

+ Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

+ Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì nó cách đều hai cạnh của góc đó.

+ Giao điểm của ba đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB, AC. Chứng minh AD = AE.

Hướng dẫn giải:

Vì I là giao điểm các đường phân giác trong của góc B và C nên AI là tia phân giác của góc A.

Suy ra ID = IE (tính chất tia phân giác) (1)

Vì AI là tia phân giác góc A nên $\widehat{\mathrm{BAI}}=\widehat{\mathrm{CAI}}=\frac{1}{2}\hat{A}=45°$

Do đó ΔDAI vuông cân tại D nên ID = DA. (2)

Chứng minh tương tự, ta có ΔAEI vuông cân tại E nên IE = AE (3)

Từ (1), (2), và (3) suy ra: AD = AE.

Ví dụ 2. Cho ΔABC có $\hat{A}=70°,$ các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính $\widehat{\mathrm{BIC}}.$

Hướng dẫn giải:

Trong ΔABC có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra: $\hat{B}+\hat{C}=180°-\hat{A}=180°-70°=110°$

Ta có: ${\hat{B}}_1=\frac{1}{2}\hat{B}$ (vì BD là tia phân giác), ${\hat{C}}_1=\frac{1}{2}\hat{C}$ (vì CE là tia phân giác).

Trong ΔBIC ta có: $\widehat{\mathrm{BIC}}+{\hat{B}}_1+{\hat{C}}_1=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\widehat{\mathrm{BIC}}=180°-\left({\hat{B}}_1+{\hat{C}}_1\right)=180°-\frac{1}{2}\left(\hat{B}+\hat{C}\right)=180°-\frac{1}{2}\cdot 110°=125°.$

Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba đường thẳng chưa ba cạnh của tam giác.

Hướng dẫn giải:

Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài tại B và C của ∆ABC. Ta sẽ chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC.

Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC (như hình vẽ).

Ta cần chứng minh thêm MH = MK = MI.

Vì M thuộc tia phân giác của góc HBI nên MH = MI

Vì M thuộc phân giác của góc KCI nên MI = MK

Suy ra: MH = MK (cùng bằng MI)

Mà điểm nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Vậy M thuộc phân giác của góc BAC và MH = MK = MI.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9 cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là

A. 4,5 cm;

B. 3 cm;

C. 6 cm;

D. 8 cm.

Bài 2. Cho ΔMNP vuông tại M, các tia phân giác của góc N và góc P cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh MN và MP. Biết ID = 5 cm, độ dài cạnh IE là

A. 5 cm;

B. 3 cm;

C. 6 cm;

D. 8 cm.

Bài 3. Cho tam giác ABC có 2 đường trung tuyến AE và BF cắt nhau tại I. Cho 2 điểm M và N lần lượt là trung điểm của IA và IB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. IN = IM;

B. IE = IB;

C. AI = BI;

D. IN = IF.

Bài 4. Cho hình vẽ. Biết CI và BI lần lượt là đường phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}$ và $\widehat{\mathrm{ABC}}.$

Giá trị của x là

A. 120°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Bài 5. Cho ΔABC, các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I. Biết $\widehat{\mathrm{BIC}}=140°,$ số đo của góc BAC là

A. 100°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Bài 6. Cho ΔABC có $\hat{A}=90°,$các tia phân giác của $\hat{B}$ và $\hat{C}$ cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC. Biết ID = x – 3 và IE = 2x + 3. Giá trị của x là

A. 5 cm;

B. 7 cm;

C. 6 cm;

D. 8 cm.

Bài 7. Cho ΔABC có I là giao điểm của hai tia phân giác của góc A và B. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB tại M, cắt AC tại N. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. MN = BM + CN;

B. MN > BM + CN;

C. MN < BM + CN;

D. $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{BM}+\mathrm{CN}\right)$

Bài 8. Cho ΔABC có $\hat{A}=120°$ và hai đường phân giác AD, BE (D ∈ BD, E ∈ AC). Số đo của $\widehat{\mathrm{BED}}$ là

A. 120°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Bài 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC và D là điểm sao cho M là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và trung điểm E của AB cắt BC tại U, đường thẳng qua D và trung điểm F của AC cắt BC tại V. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. BU = UV;

B. BU = VC;

C. $\mathrm{UM}=\frac{2}{3}\mathrm{BM};$

D. $\mathrm{UV}=\frac{2}{3}\mathrm{BM};$

Bài 10. Cho tam giác MNP có ba đường phân giác MA, NB, PC cắt nhau tại I. Vẽ IH vuông góc NP tại H. Cho các khẳng định sau:

(I) IM = IN = IP;

(II) $\widehat{\mathrm{NIH}}=\widehat{\mathrm{PIA}};$

(III) IA = IB = IC.

Có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác

• Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác

• Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều

• Nhận biết đường phân giác và đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)

• Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---