Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng

Bài viết Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng.

Bài giảng: Cách tính Thể tích hình chóp, hình lăng trụ - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

1. Phương pháp giải

+ Xác định góc giữa hai mặt phẳng

+ Tính độ dài các cạnh, diện tích đáy, chiều cao

+ Tính thể tích của khối lăng trụ

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a , biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 60^o .Tính thể tích lăng trụ.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Lại có, hai mặt phẳng ( A’BC) và (ABC) cắt nhau theo giao tuyến BC nên góc giữa hai mặt phẳng ( A’BC) và ( ABC) là góc

Diện tích đáy ABC là:

Xét tam giác vuông AA’B có AA’=AB.tan60^o=

Do đó, thể tích của hình lăng trụ đã cho là:

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều . Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30^o và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của BC

Do tam giac ABC là tam giác đều nên AI⊥BC( 1)

Lại có;

Từ ( 1) và (2) suy ra: A'I⊥BC( định lí 3 đường vuông góc)

Lại có, giao tuyến của 2 mp (A’BC) và (ABC) là BC. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng ( A’BC) và ( ABC) là góc

Đặt BI= x

Xét tam giác A’AI có:

AA’ = AI. tan 30^o = x

Mà S_A’BC == x. 2x = 8 => x = 2

Khi đó, đáy ABC là tam giác đều cạnh BC= 2BI = 4 nên diện tích đáy là:

Thể tích hình lăng trụ đã cho là:

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABC

D. A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60^o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho?

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do ABCD là hình vuông nên OC⊥BD(2)

Từ (1) và (2) suy ra: C'O⊥BD( định lí ba đường vuông góc).

Mà mặt phẳng ( BDC’) cắt mp(ABCD) theo giao tuyến BD nên góc giữa hai mặt phẳng này là góc

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên

Xét tam giác OCC’ vuông tại C có

Diện tích hình vuông ABCD là: S_ABCD = a².

Thể tích hình lăng trụ đã cho là

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hình hộp chữ nhật ABC

D. A'B'C'D' có AA' = 2a; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60^o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30^o . Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Vì

Hướng dẫn giải

Vì

Ta có:

Lại có, hai mặt phẳng (A’BC) và ( ABCD) cắt nhau theo giao tuyến BC nên góc giữa hai mp(A’BC) và (ABCD) là góc

Hình chiếu của A’C trên (ABCD) là AC nên góc giữa A’C và mp(ABCD) là góc

Xét tam giác A’AC vuông tại A có: AC= AA’. cot30^o=

Xét tam giác A’AB có: AB= AA’.cot60^o =

Xét tam giác ABC có:

Thể tích khối hình hộp chữ nhật đã cho là:

Chọn A.

Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có ; BC= a;,đường thẳng B’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc α thỏa mãn sin α=1/4. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là :

Hướng dẫn giải

+ Diện tích tam giác ABC là:

+ Kẻ CH⊥AB

Lại có:

=>B’H là hình chiếu vuông góc của B’C lên (ABB’A’).

=> ( B’C; (ABB’A’))= (B’C; B’H) =

+ Áp dụng định lí co-sin vào tam giác ABC ta có:

+ Diện tích tam giác ABC là :

Xét tam giác vuông

Do đó thể tích của khối lăng trụ đã cho

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy
• Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ đều (cực hay)
• Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ xiên (cực hay)