Tích vô hướng và ứng dụng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tích vô hướng và ứng dụng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tích vô hướng và ứng dụng.

1. Phương pháp giải

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$ được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x.x^{\text{'}}+y.y^{\text{'}}+z.z^{\text{'}}$.

Nhận xét:

- Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu xx' + yy' + zz' = 0.

- Nếu $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$ là hai vectơ khác $\overrightarrow{0}$ thì $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{x.x^{\text{'}}+y.y^{\text{'}}+z.z^{\text{'}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{{x^{\text{'}}}^2+{y^{\text{'}}}^2+{z^{\text{'}}}^2}}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(-3;4;0\right),\overrightarrow{b}=\left(5;0;12\right)$. Tính côsin của góc giữa $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-3.5+4.0+0.12}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2+0^2}.\sqrt{5^2+0^2+{12}^2}}=-\frac{3}{13}$.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(2; −1; 4), B(0; −1; 0), C(3; −2; m + 2). Tìm m để tam giác ABC vuông tại A.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-2;0;-4\right),\overrightarrow{AC}=\left(1;-1;m-2\right)$.

Để tam giác ABC vuông tại A ⇔ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ ⇔ −2 −4(m − 2) = 0  ⇔ $m=\frac{3}{2}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(2;-4;-2\right)$. Khi đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ bằng

A. 8;

B. −8;

C. 12;

D. −12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.2+\left(-2\right).\left(-4\right)+1.\left(-2\right)=8$.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, côsin của góc tạo bởi hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-1;2;0\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(0;-2;1\right)$ là

A. $\frac{4}{5}$;

B. $-\frac{4}{5}$;

C. $\frac{4}{25}$;

D. $-\frac{4}{25}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$ = $\frac{\left(-1\right).0+2.\left(-2\right)+0.1}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+2^2+0^2}.\sqrt{0^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}}$ = $-\frac{4}{5}$.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;-2;m\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(2;m;-1\right)$ với m là tham số nhận giá trị thực. Tìm giá trị của m để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.

A. m = 1;

B. m = 2;

C. m = −1;

D. m = −2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

⇔ 3.2 + (-2).m + m.(-1) = 0 ⇔ 6 - 3m = 0 ⇔ m = 2.

Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(0;-1;1\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(-1;0;-m\right)$. Có bao nhiêu giá trị thực của m để góc giữa vectơ $\overrightarrow{a}$ và vectơ $\overrightarrow{b}$ bằng 60°?

A. 1;

B. 0;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$ ⇔ $\cos 60°=\frac{-m}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{1^2+m^2}}$ ⇔ $\frac{1}{2}=\frac{-m}{\sqrt{2}.\sqrt{1+m^2}}$.

⇔ $\left\{\begin{array}{c}m<0\\ m^2-1=0\end{array}\right.$ => m = -1.

Bài 5. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−1; −2; 3), B(0; 3; 1), C(4; 2; 2). Cosin của góc $\widehat{BAC}$ là

A. $\frac{9}{\sqrt{35}}$;

B. $-\frac{9}{\sqrt{35}}$;

C. $-\frac{9}{2\sqrt{35}}$;

D. $\frac{9}{2\sqrt{35}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;5;-2\right);\overrightarrow{AC}=\left(5;4;-1\right)$.

Ta có $\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{5+20+2}{\sqrt{30}.\sqrt{42}}=\frac{9}{2\sqrt{35}}$.

Bài 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;2;3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-2;1;0\right)$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)$.

A. 14;

B. 16;

C. 22;

D. 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=\left(-3;4;3\right)$.

Do đó $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)=1.\left(-3\right)+2.4+3.3=14$.

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; −1; 2), B(5; 2; 1) và C(2; 0; 3). M(x; 0; 0) trên trục Ox sao cho AM ⊥ BC. Tìm x.

A. x = −5;

B. x = 1;

C. x = 2;

D. x = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(x-1;1;-2\right)$, $\overrightarrow{BC}=\left(-3;-2;2\right)$.

Ta có AM ⊥ BC ⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0$

⇔ (x – 1).(−3) + 1.(−2) + (−2).2 = 0 ⇔ x – 1 = −2 ⇔ x = −1.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2; 3; −4). Khoảng cách từ I đến trục Ox bằng

A. 2;

B. 5;

C. $\sqrt{13}$;

D. $2\sqrt{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi H là hình chiếu của I trên trục Ox. Khi đó H(2; 0; 0).

Khi đó khoảng cách từ I đến trục Ox bằng IH = $\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}=5$.

Bài 9. Cho tam giác ABC biết A(2; −1; 3) và trọng tâm của tam giác có tọa độ là G(2; 1; 0). Khi đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ có tọa độ là

A. (0; −9; 9);

B. (0; 6; 9);

C. (0; 9; −9);

D. (0; 6; −9).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm của BC.

Khi đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}=2.\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}=\left(0;6;-9\right)$.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;m+1;-1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(1;-3;2\right)$. Với giá trị nào của m sau đây thì $\left|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right|=3$?

A. 4;

B. 0;

C. 2;

D. −3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.1+\left(m+1\right).\left(-3\right)+\left(-1\right).2$ = -3(m + 1).

Để $\left|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right|=3$ ⇔ 3|m + 1| = 3 ⇔ |m + 1| = 1 ⇔ $\left[\begin{array}{l}m+1=1\\ m+1=-1\end{array}\right.$ ⇔ $\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-2\end{array}\right.$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế
• Xác định khoảng biến thiên và ý nghĩa của khoảng biến thiên trong việc đo mức độ phân tán
• Xác định khoảng tứ phân vị và ý nghĩa của khoảng tứ phân vị trong việc đo mức độ phân tán
• Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và vận dụng đo mức độ rủi ro
• Áp dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm

---