Các dạng bài tập phương trình lôgarit và cách giải

---

---

Với Các dạng bài tập phương trình lôgarit và cách giải môn Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

                           

I. LÝ THUYẾT

a. Phương trình lôgarit cơ bản: 

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log_ax = b, a,b > 0, a ≠ 1  

Theo định nghĩa logarit ta có log_ax = b ⇔ x = a^b 

b. Phương pháp giải phương trình lôgarit

Biến đổi, quy về cùng cơ số:

 

Đặt ẩn phụ:

Mũ hóa hai vế: 

Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình: log_ax = f(x) (0 < a ≠ 1)  (∗)           

Xem phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = log_ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x). Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y = log_ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x)

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị. 

 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: 

 Sử dụng đánh giá

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Phương trình loogarit cơ bản

A. Phương pháp giải

Xét phương trình lôgarit cơ bản: log_af(x) = b, a,b > 0, a ≠ 1  

Bước 1: Nêu điều kiện để f(x) có nghĩa

Bước 2: Giải phương trình log_af(x) = b ⇔ f(x) = a^b 

Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình. 

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của phương trình log₄(x - 2) = 2.

A. S = {16} .                 B. S = {18}.                  C. S = {10}.                  D. S = {14}.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

Vậy tập nghiệm của phương trình S = .

Câu 2: Số nghiệm của phương trình log(x-1)² = 2 .

A. 2 .                  B. 1 .                  C. 0 .                   D. một số khác.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện (x-1)² > 0 ⇔ x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 

Ta có log(x-1)² = 2 = log10² ⇔ (x-1)² = 100 ⇔ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Câu 3: Số nghiệm của phương trình log₂[x(x - 1)] = 1 là

A. 1 .                       B. 2 .                      C. 3 .                       D. 0 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Điều kiện xác định: x(x - 1) > 0 ⇔

pt ⇔ x(x - 1) = 2 ⇔ x² - x - 2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Câu 4: Gọi x₁,x₂ là 2 nghiệm của phương trình log₂[x(x + 3)] = 1. Khi đó x₁ + x₂ bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn A.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện:  

log₂[x(x + 3)] = 1 ⇔ x(x + 3) = 2 ⇔ x² + 3x - 2 = 0 ⇔  (thỏa mãn)

Vậy x₁ + x₂ = -3

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và B. Tính A + B = – 3.

Câu 5: Gọi x₁,x₂ là nghiệm của phương trình log₂[x(x - 1)] = 1. Khi đó tích x₁.x₂ bằng:

A. -2 .                       B. 1.                       C. -1 .                    D. 2.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện x < 0 hoặc x > 1 

log₂[x(x - 1)] = 1 ⇔ x² - x - 2 = 0 ⇔

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp giải

Xét phương trình cùng cơ số: log_af(x) = log_ag(x), 0 < a ≠ 1  

Bước 1: Nêu điều kiện  

Bước 2 Giải phương trình: log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x) 

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của phương trình log₂(x² - 1) = log₂(2x) là

A. {1 + √2} .                          B. .     {2; 41}.        

C. {1 + √2; 1 - √2}.                D.

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Điều kiện: Khi đó PT x² - 1 = 2x ⇔

Đối chiếu điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là 

Câu 2: Cho phương trình (1). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện của phương trình là 

Khi đó (1)  

Vậy phương trình đã cho tương đương với 

Câu 3: Số nghiệm của phương trình ln(x² - 6x + 7) = ln(x - 3) là:

A. 0.                        B. 2.                       C. 3.                       D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện  

Khi đó, ta có: 

ln(x² - 6x + 7) = ln(x - 3) ⇔ x² - 6x + 7 = x - 3 ⇔ x² - 7x + 10 = 0

 

Kết hợp với điều kiện, x = 5 là giá trị cần tìm.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính ln(x² - 6x + 7) = ln(x - 3) = 0 

Ấn SHIFT CALC nhập X = 4 (chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình), ấn =. Máy hiện X = 5.

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC. Viết lại phương trình:  

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =.

Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

Câu 4: Phương trình  có tập nghiệm là tập nào sau đây?

Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log₃x - log₃(x - 2) = log_√3m có nghiệm?

A. m > 1 .                               B. m ≥ 1.                C. m < 1.                D. m ≤ 1.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện x > 2; m > 0 

log₃x - log₃(x - 2) = log_√3m

⇔ x = (x-2)m² ⇔ x = x.m² - 2.m² ⇔ x.(m² - 1) = 2m² ⇔    

Vì x > 2 nên  

 

Kết hợp với điều kiện m > 0, ta được m > 1.

Phương trình có nghiệm x > 2 khi m > 1,chọn đáp án A

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay m = 0 (thuộc C, D) vào biểu thức log_√3m không xác định, vậy loại C, D,

Thay m = 1 (thuộc B) ta được phương trình tương đương x = x - 2  vô nghiệm

Vậy chọn đáp án A.

Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ

A. Phương pháp giải

Xét phương trình: f[log_ag(x)] = 0 (0 < a ≠ 1) 

Bước 1: Đặt điều kiện: g(x) > 0

Bước 2: Đặt t = log_ag(x) 

Giải phương trình f(t) = 0, tìm t.

Bước 3: Thay vào phương trình: t = log_ag(x), tìm x.

Bước 4: Kết hợp với điều kiện và kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Nếu đặt t = log₂x thì phương trình  trở thành phương trình nào?

A. t² - 5t + 6 = 0 .                   B. t² + 5t + 6 = 0   

C. t² - 6t + 5 = 0                     D. t² + 6t + 5 = 0 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt t = log₂x 

PT ⇔  ⇔ 1 + t + 2(5 - t) = (5 - t)(1 + t)

⇔ 11 - t = 5 +4t - t² ⇔ t² - 5t + 6 = 0 

Câu 2: Gọi x₁,x₂ là 2 nghiệm của phương trình . Khi đó x₁,x₂ bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: 

Đặt t = log₂x,điều kiện . Khi đó phương trình trở thành:

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là 

Câu 3: Phương trình  có tập nghiệm là:

A. {-1;-3} .                           B. {1;3}.                 C. {3;63}.              D. {1;2}.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện :  

 

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay x = 1 (thuộc B, D) vào vế trái ta được 3 = 0 vô lý, vậy loại B, D,

Thay x = -1 vào log₅(2x - 1) ta được log₅(-3) không xác định, nên loại A

Vậy chọn đáp án C.

Câu 4: Gọi x₁,x₂ là các nghiệm của phương trình log₂²x - 3log₂x + 2 = 0. Giá trị của biểu thức P = x₁² + x₂² bằng bao nhiêu?

A. 20 .                       B. 5 .                      C. 36 .                    D. 25 .

Hướng dẫn giải.

Chọn A. 

Điều kiện x > 0. Giải phương trình bậc hai với ẩn là log₂x ta được:

Khi đó, P = x₁² + x₂² = 2² + 4² = 20 .

Câu 5:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log₂²x + 2log₂x - m = 0 có nghiệm x > 2 

A. m < -1                   B. m ≥ 3                    C. m < 3                    D. m < 3 

Hướng dẫn giải

Chọn D.

log₂²x + 2log₂x - m = 0  (1).

Đặt t = log₂x, phương trình (1) trở thành: t² + 2t - m = 0 ⇔ t² + 2t = m  (2).

Phương trình (1) có nghiệm x > 2 phương trình (2) có nghiệm t > 1 (do t = log₂x > log₂2 = 1) .

Xét hàm số y = t² + 2t => y^' = 2t + 2, y^' = 0 ⇔ t = -1  ( loại).

Bảng biến thiên

 

Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm t > 1 ⇔ m > 3 

                          

Dạng 4. Phương pháp mũ hóa

A. Phương pháp giải

Xét phương trình: log_ag(x) = f(x) (0 < a ≠ 1)

Bước 1: Đặt điều kiện g(x) > 0

Bước 2: Giải phương trình:

log_ag(x) = f(x) (0 < a ≠ 1) ⇔ g(x) = a^f(x)

Bước 3: Kết hợp với điều kiện, kết luận nghiệm.

Câu 1: Cho x thỏa mãn phương trình . Giá trị của biểu thức P = x^log₂4x  là

A. P = 4                      B. P = 1                    C. P = 8                    D. P = 2   

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

 

Vậy P = 2^log₂4x = 8

Câu 2: Phương trình log₂(3.2^x - 1) = 2x + 1 có bao nhiêu nghiệm?

A. 1.                         B. 2.                         C. 3.                       D. 0.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện

(thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính log₂(3X2^x - 1) - 2X - 1 

Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn =. Máy hiện X=0.

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC. Viết lại phương trình:  

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1.

Ấn Alpha X Shift STO B.

Ấn AC. Viết lại phương trình:  

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1=

Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

Câu 3: Số nghiệm nguyên dương của phương trình  là:

A. 2.                              B. 1.                       C. 3.                       D. 0.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Điều kiện: 2^x+1 - 3 > 0 ⇔ x > log₂3 - 1

Ta có: (1) 

Đặt t = 2^x, t > 0 Ta có  

(1) => t² + 4 = 2t² - 3t ⇔ t² - 3t - 4 = 0 ⇔  

⇔ 2^x = 2^x ⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 .

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log₅(25^x - log₅m) có nghiệm duy nhất.

A.                  B. m = 1 .                C.              D. m ≥ 1 

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Điều kiện 25^x - log₅m > 0

PT ⇔ 25^x - log₅m = 5^x

Xét g(t) = t² - t trên (0,+∞)  ta có bảng biến thiên:

PT đã cho có nghiệm duy nhất 

Dạng 5. Phương pháp hàm số, đồ thị và đánh giá

A. Phương pháp giải

Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình: log_ax = f(x) (0 < a ≠ 1) (∗).           

Xem phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = log_ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x). Khi đó ta thực hiện hai bước:

• Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y = log_ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x)
• Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị. 

 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

 Sử dụng đánh giá

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Phương trình: ln(x² + x + 1) - ln(2x² + 1) = x² - x có tổng bình phương các nghiệm bằng:

A. 5 .                    B. 1 .                       C. 9 .                      D. 25 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có ln(x² + x + 1) - ln(2x² + 1) = x² - x 

⇔ ln(x² + x + 1) - ln(2x² + 1) = (2x² + 1) - (x² + x + 1)

⇔ ln(x² + x + 1) + (x² + x + 1) =  ln(2x² + 1) + (2x² + 1)  

Nhận xét: x² + x + 1 > 0,∀x ∈ R và 2x² + 1 > 0, ∀x ∈ R

Xét hàm số f(t) = lnt + t với t ∈ (0,+∞) .

Ta có , ∀t ∈ (0,+∞) nên hàm số f(t) = lnt + t  đồng biến trên (0,+∞)

Do đó f(x² + x + 1) = f(2x² + 1) ⇔ x² + x + 1 ⇔ 2x² + 1 ⇔ 

Vậy tổng bình phương các nghiệm là 1 .

Câu 2:  Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.

A. m > 3 .                 B. m < 2                 C. m > 0                D. m = 2

Hướng dẫn gải:

Chọn B.

Điều kiện: -1 ≤ x ≠ 2 

Phương trình đã cho tương đương với  

 

Phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  và đường thẳng (cùng phương với trục hoành).

Xét hàm số  xác định trên (-1,2) ∪ (2,+∞) .

Ta có 

Đồ thị

Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình (∗) có ba nghiệm phân biệt khi  

Chọn B.

Câu 3: Cho phương trình  có tổng tất cả các nghiệm bằng

A. 5 .                        B. 3 .                       C. √5 .                   D. 2 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Điều kiện x > 0 và x ≠ 1 

Xét hàm số f(t) = log₃t + t với t> 0 và t ≠ 1 

Nên  với t> 0 và t ≠ 1 nên f(t) đồng biến với t> 0 và t ≠ 1 

Do đó: f(x² - 2x + 1) = f(x) ⇔ x² - 2x + 1 = x ⇔ x² - 3x + 1 = 0 ⇔

Khi đó tổng các nghiệm của phương trình bằng 3

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tìm nghiệm của phương trình log₂(x - 1) = 3 

A. x = 9 .                               B. x = 7.                C. x = 8.                D. x = 10.

Câu 2: Phương trình  có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 2                         B. 3                       C. 4                       D. 8 

Câu 3: Số nghiệm của phương trình log₂x.log₃(2x - 1) = 2log₂x là:

A. 2.                        B. 0.                       C. 1.                       D. 3.

Câu 4: Tìm tập nghiệm S của phương trình log₂(x² - 4x + 3) = log₂(4x - 4) 

A. S =  {1,7}                         B. S = {7} 

C. S = {1}                             D. S = {3,7} 

Câu 5: Số nghiệm của phương trình log₅(5x) - log₂₅(5x) - 3 = 0 là:

A. 3.                         B. 4.                       C. 1.                       D. 2.

Câu 6: Gọi x₁,x₂ là 2 nghiệm của phương trình log₃(x² - x - 5) = log₃(2x + 5). Khi đó |x₁-x₂| bằng:

A. 5.                         B. 3.                       C. -2 .                    D. 7.

Câu 7: Số nghiệm của phương trình log₄ (x + 12).log_x2 = 1 là:

A. 0.                         B. 2.                       C. 3.                       D. 1.

Câu 8: Giải phương trình log₄(x + 1) + log₄(x - 3) = 3 

A. x = 1 ± 2√17                 B.  x = 1 + 2√17              C. x = 33                 D. x = 5

Câu 9: Phương trình  có 2 nghiệm x₁,x₂ trong đó x₁ < x₂ .Giá trị của P = 2x₁ + 3x₂ là

A. 5.                          B. 14.                     C. 3.                       D. 13.

Vậy 2x₁ + 3x₂ = 2.1 + 3.4 = 14 .

Câu 10: Số nghiệm của phương trình là: log₂(x³ + 1) - log₂(x² - x + 1) - 2log₂x = 0

A. 0.                           B. 2.                       C. 3.                       D. 1.

Câu 11: Với giá trị m bằng bao nhiêu thì phương trình log_2+√3(mx + 3) + log_2+√3(m²+ 1) = 0 có nghiệm bằng -1 ?

A.                B.               C. m < 3                 D. m > 3 

Câu 12: Phương trình  có bao nhiêu nghiệm trên R ?

A. 0                            B. 1                         C. 2                       D. 3

Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình  có ba nghiệm phân biệt.

A.  m > 3.                  B. m < 2.               C. m > 0               D. m = 2

Câu 14: Nếu đặt t = log₂x thì phương trình log₂(4x) - log_x2 = 3 trở thành phương trình nào?

A. t² - t - 1 = 0 .      B. 4t² - 3t - 1 = 0.             C. D. 

Câu 15: Phương trình  có tích các nghiệm là:

A. e³ .                     B.                  C. e .                      D. 2 .

Câu 16: Nghiệm lớn nhất của phương trình -log³x + log²x = 2 - logx là :

A. 100.                                  B. 2.                       C. 10.                     D. 1000.

Câu 17: Nếu đặt t = log₂(5^x - 1) thì phương trình log₂(5^x - 1).log₄(2.5^x - 2) = 1 trở thành phương trình nào?

A. t² + t - 2 = 0.               B. 2t² = 1 .               C. t² - t - 2 = 0.         D. t² = 1 .

Câu 18: Nghiệm nguyên của phương trình  là:

A. x = 1 .                         B. x = -1.              C. x = 2.                D. x = 3.

Câu19: Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình log₂²x - (m - 1)log₂x + 4 - m = 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc [1;4]  là

Câu 20: Cho phương trình . Gọi  lần lượt là 2 nghiệm của phương trình. Khi đó tích  bằng:

Câu 21: Với giá trị nào của m thì phương trình log₂(4^x + 2m³) = x có 2 nghiệm phân biệt?

Câu 22: Phương trình log₃(x² + x + 1) = x(2 - x) + log₃x có bao nhiêu nghiệm

A. 1 nghiệm                B. 2 nghiệm               C. 3 nghiệm             D.Vô nghiệm

Câu 23: Số nghiệm của phương trình log₃|x² - √2x| = log₅(x² - √2x + 2)  là

A. 3                            B. 2                            C. 1                       D. 4

Câu 24: Tập hợp các giá trị của m để phương trình m.ln(1 - 2^x) - x = m có nghiệm thuộc (-∞;0) là

A. (ln2;+∞) .               B. (0;+∞) .                  C. (1;e) .                 D. (-∞;0) 

Câu 25: Biết phương trình  có nghiệm duy nhất  trong đó x = a + b√2 là các số nguyên. Tính  ?

A. 5                           B. -1                            C. 1                         D. 2

Đáp án

1A	2B	3A	4B	5C	6D	7D	8B	9B	10A
11B	12B	13B	14A	15A	16A	17A	18A	19D	20B
21C	22A	23B	24B	25A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Bất phương trình mũ
• Bất phương trình lôgarit
• Bài toán về lãi suất ngân hàng
• Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit
• Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

---

---

---