Các dạng bài tập bất phương trình mũ và cách giải

---

---

Với Các dạng bài tập bất phương trình mũ và cách giải môn Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

                        

I. LÝ THUYẾT

• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

• Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a^M > a^N ⇔ (a - 1)(M - N) > 0  .

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

+ Đưa về cùng cơ số.

+ Đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng tính đơn điệu: 

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên D thì: f(u) < f(v) => u > v

Hàm số y = f(x) đồng biến biến trên D thì: f(u) < f(v) => u < v 

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  

Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản

A. Phương pháp

Xét bất phương trình có dạng:

 a^x > b

- Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì a^x > b,∀x ∈ R.

 - Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a^x >  

    +Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log_ab 

    +Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < log_ab 

Chú ý 

          + Xét bất phương trình: a^f(x) > b (1)

          + Xét bất phương trình: a^{f(x) <} b (2)  

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình 2^x > 3^x+1 là

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có:

Vậy tập nghiệm của BPT là 

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 2^x + 2^x+1 ≤ 3^x + 3^x-1 

A. x ∈ [2;+∞) .                       B. x ∈ (2;+∞).       C. x ∈ (-∞;2).       D. (2;+∞)

Hướng dẫn giải

2^x + 2^x+1 ≤ 3^x + 3^x-1     

Vậy tập nghiệm của BPT là x ∈ [2;+∞) .

Chọn D.

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình  là: 

Hướng dẫn giải

 

Chọn A.

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình:  là:

A. S = [1;+∞) ∪ .               B. S = [1;+∞).

C. S = [0;+∞).                         D. S = [2;+∞) ∪ .

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: x ≥ 0.

Vậy tập nghiệm của BPT là S = [1;+∞) ∪ .

Chọn A.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình 2^x + 4.5^x - 4 < 10^x là:

A.                              B. x < 0                  

C. x > 2                                 D. 0 < x < 2

Hướng dẫn giải

2^x + 4.5^x - 4 < 10^x

⇔ 2^x - 10^x + 4.5^x - 4 < 0 ⇔ 2^x(1 - 5^x) - 4(1 - 5^x) < 0 ⇔ (1 - 5^x)(2^x - 4) < 0  

 

Chọn A.

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp

Xét bất phương trình a^f(x) > a^g(x)

• Nếu a > 1 thì a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x) (cùng chiều khi a > 1)

• Nếu 0 < a < 1 thì a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x)(ngược chiều khi 0 < a < 1)

• Nếu a chứa ẩn thì a^f(x) > a^g(x) ⇔ (a - 1)[f(x) - g(x)] > 0(hoặc xét 2 trường hợp của cơ số).

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 

A. S = (2;+∞) .                      B. S = (-∞; 0).        

C. S = (0;+∞).                       D. S = (-∞; +∞) .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Vậy tập nghiệm của BPT là S = (0;+∞).

Câu 2: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình

A. 3                            B. 4                        C. 5                        D. 6 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có   

Vì phương trình tìm nghiệm nguyên dương nên các nghiệm là x = .

Vậy có tất cả ba nghiệm nguyên dương của BPT.

Câu 3: Giải bất phương trình  ta được tập nghiệm:

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có 

Vậy tập nghiệm của BPT là 

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình  là

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 

Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có 

Vậy tập nghiệm của BPT có dạng S = (-∞;3) .

                            

Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ

A. Phương pháp giải:

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình: 3^2x+1 - 10.3^x + 3 ≤ 0 là

A. [-1;0).                   B. (-1;1).               C. (0;1].                 D. [-1;1].

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Tập xác định: D = R .

3^2x+1 - 10.3^x + 3 ≤ 0 ⇔ 3.(3^x)² - 10.3^x + 3 ≤ 0 

Đặt t = 3^x, t > 0  

BPT ⇔ 3t² - 10t + 3 ≤ 0 ⇔ ≤ t ≤ 3 ⇔ 3^-1≤ t ≤ 3 ⇔ 3^-1≤ 3^x ≤ 3¹ ⇔ -1 ≤ x ≤ 1

Vậy tập nghiệm của BPT là S = [-1;1] .

Câu 2: Nghiệm của bất phương trình  là

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có 

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình là 9^x-1 - 36.3^x-3 + 3 ≤ 0

A. x ≥ 1 .                       B. x ≤ 3 .                C. 1 ≤ x ≤ 3.            D. 1 ≤ x ≤ 2

Hướng dẫn giải

Chọn D.

 

Câu 4: Bất phương trình 9^x - 3^x - 6 < 0 có tập nghiệm là

A. (-∞;1) .          B. (-∞;-2) ∪ (3; +∞).              C. (1; +∞).          D. (-2;3).

Hướng dẫn giải

Chọn A.

9^x - 3^x - 6 < 0 ⇔ (3^x)² - 3^x - 6 < 0 ⇔ -2 < 3^x < 3 ⇔ x < 1

Vậy tập nghiệm của BPT là S = (-∞;1) .

Câu 5: Tập hợp nghiệm của bất phương trình  là

A. (0;1)                      B. (1;2)                     C.                    D. (2;3) 

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Vậy tập nghiệm của BPT là S =  

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình  là:

A. -1 < x ≤ 1                     B. x ≤ -1                   C. x > 1                D. 1 < x < 2 

Hướng dẫn giải

Đặt t = 3^x (t > 0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

 

Chọn A.

Dạng 4. Phương pháp logarit hóa

A. Phương pháp

Xét bất phương trình dạng: a^f(x) > b^g(x) (*) với 1 ≠ a; b > 0 

• Lấy logarit 2 vế với cơ số a > 1 ta được: (*) ⇔ log_aa^f(x) > log_ab^g(x) ⇔ f(x) > g(x)log_ab    

• Lấy logarit 2 vế với cơ số 0 < a < 1 ta được: (*) ⇔ log_aa^f(x) < log_ab^g(x) ⇔ f(x) < g(x)log_ab    

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập S của bất phương trình: 3^x.5^x < 1.

A. (-log₅3;0] .                      B. [log₅3;0).          

C. (-log₅3;0).                      D. (log₅3;0).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: 3^x.5^x < 1 ⇔ log₅(3^x.5^x) < 0 ⇔ x² + xlog₅3 < 0 ⇔ -log₅3 < x < 0 nên S = (-log₅3;0) 

Câu 2: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có  

Đáp án sai là B. 

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình  là:

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 4^x + 4^x+2 + 4^x+4 ≥ 5^x + 5^x+2 + 5^x+4 là:

Câu 3: Cho bất phương trình: 3^x + 3^x+1 + 3^x+2 ≤ 4^x + 4^x+1 + 4^x+2 (1) 

Tập nghiệm của bất phương trình (1) là:

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình 3^x.x² + 54x + 5.3^x > 9x² + 6x.3^x + 45 là:

A. (-∞;1) ∪ (2;+∞)                                 B. (-∞;1) ∪ (2;5)    

C. (-∞;1) ∪ (5;+∞)                                 D. (1;2) ∪ (5;+∞)

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình (2^x - 4)(x² - 2x - 3) < 0 là

A. (-∞;-1) ∪ (2;3)                                B. (-∞;1) ∪ (2;3)   

C. (2;3) .                                             D. (-∞;-2) ∪ (2;3) 

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình  là:

A. x ≥ 4 .                B. x < 0 .                C. x > 0.                D. x < 4.

Câu 7: Tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình: 

A. x > 3 hoặc x < -3                B. -3 < x < 3 .              C. x < -3              D. x > 0.

Câu 8: Giải bất phương trình  

Câu 9: Tìm tập nghiệm của bất phương trình 

A. (-∞;-2)                                        B. (-∞;-2) ∪ (1;+∞)  .   

C. (-2;1) .                                        D. (1;+∞) 

Câu 10: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 

 

Câu 11: Tập các số x thỏa mãn  là:

Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình  là:

A. (-∞;-1] ∪ [0;1]                                 B. [-1;0]              

C. (-∞;-1) ∪ [0;+∞)                              D. [-1;0] ∪ (1;+∞)

Câu 13: Nghiệm của bất phương trình  là

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình  là

A.  [0;2].                 B.  [-∞;1].             C.  [-∞;0].            D.  [2;+∞]

Câu 15:  Bất phương trình 2.5^x+2 + 5.2^x+2 ≤ 133.√10^x có tập nghiệm là S = [a,b] thì b - 2a bằng

A. 6 .                        B. 10 .                    C. 12 .                    D. 16

Câu 16: Giải bất phương trình  

Câu 17: Tìm m  để bất phương trình m.9^x - (2m + 1).6^x + m.4^x ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ (0,1) .

A. 0 ≤ m ≤ 6            B. m ≤ 6 .                C. m ≥ 6                D. m ≤ 0

ĐÁP ÁN

1A	2A	3A	4D	5A	6A	7B	8C	9C
10B	11C	12D	13D	14D	15B	16B	17B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Bất phương trình lôgarit
• Bài toán về lãi suất ngân hàng
• Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit
• Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit
• Phương trình mũ

---

---

---