Nguyên hàm của hàm số lũy thừa lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Nguyên hàm của hàm số lũy thừa lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nguyên hàm của hàm số lũy thừa.

1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

$\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right);\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$

2. Ví dụ minh họa về nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Ví dụ 1. Tìm:

a) $\int 6x^{3}dx$.

b) $\int \sqrt[3]{x}dx$.

c) $\int \frac{2}{x^5}dx$.

Hướng dẫn giải

a) $\int 6x^{3}dx=6\cdot \frac{x^4}{4}+C=\frac{3x^4}{2}+C$.

b) $\int \sqrt[3]{x}dx=\int x^{\frac{1}{3}}dx=\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+C=\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C=\frac{3}{4}x\sqrt[3]{x}+C$.

c) $\int \frac{2}{x^5}dx=\int 2x^{-5}dx=2\cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1}+C=\frac{-1}{2x^4}+C$.

Ví dụ 2. Tính:

a) $\int \left(x^2+5x-\frac{1}{x}\right)dx$.

b) $\int \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^2+2\right)dx$

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(x^2+5x-\frac{1}{x}\right)dx=\int x^{2}dx+5\int xdx-\int \frac{1}{x}dx=\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-\ln \left|x\right|+C$.

b) $\int \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^2+2\right)dx=\int \frac{dx}{\sqrt{x}}+3\int x^{2}dx+2\int dx=2\sqrt{x}+x^3+2x+C$.

Ví dụ 3. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng (có gắn trục tọa độ Ox với độ dài đơn vị bằng 1 m). Biết rằng vật chuyển động với vận tốc (tính theo m/s) là v(t) = 4t – t² (0 ≤ t ≤ 10, tính theo giây) và lúc đầu vật ở vị trí có tọa độ x₀ = 3.

a) Xác định tọa độ x(t) của vật tại mỗi thời điểm t (0 ≤ t ≤ 10).

b) Tại thời điểm t = 4 giây, vật cách vị trí ban đầu bao xa?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $x\left(t\right)=\int \left(4t-t^2\right)dt=2t^2-\frac{t^3}{3}+C$.

Theo giả thiết x(0) = 3 nên C = 3. Do đó, $x\left(t\right)=t^2-\frac{t^3}{3}+3$.

b) Ta có: |$x\left(4\right)-x\left(0\right)$|=|$4^2-\frac{4^3}{3}+3-3$|=$\frac{16}{3}$ .

3. Bài tập về nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Bài 1. Tìm:

a) $\int x^{-6}dx$.

b) $\int \frac{4}{\sqrt[3]{3x^2}}dx$.

c) $\int \frac{3}{x^6}dx$.

Bài 2. Tính:

a) $\int \left(\sqrt[3]{x^2}+6x-\frac{3}{x}\right)dx$.

b) $\int \frac{x^7-x^6+2x^5}{x^4}dx$.

c) $\int \frac{{\left(1+x\right)}^2}{x}dx$.

d) $\int {\left(x+1\right)}^{3}dx$.

Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x² + 6x + 1, biết rằng F(2) = 0.

Bài 4. Một ô tô đang chạy với vận tốc 25 m/s thì hãm phanh chuyển động chậm dần với tốc độ v(t) = 25 – 2t (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 2 giây, 3 giây là bao nhiêu?

Bài 5. Một quần thể sinh vật có tốc độ tăng số lượng cá thể được ước lượng bởi $P\text{'}\left(t\right)=210\sqrt{t}$ (cá thể/ ngày) với 0 ≤ t ≤ 10, trong đó P(t) là số lượng cá thể sinh vật tại thời điểm t ngày kể từ thời điểm ban đầu.

Biết rằng ban đầu quần thể có 1 000 cá thể.

a) Xác định hàm số P(t).

b) Ước lượng số cá thể của quần thể sau 8 ngày kể từ thời điểm ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng trăm).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Khoảng tứ phân vị là gì

• Phương sai là gì

• Độ lệch chuẩn là gì

• Nguyên hàm là gì

• Họ nguyên hàm của một hàm số là gì

• Tích phân là gì

---