Giải Toán 9 trang 23 Tập 1 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 9 trang 23 Tập 1 trong Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán 9 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 dễ dàng làm bài tập Toán 9 trang 23.

Luyện tập 2 trang 23 Toán 9 Tập 1: Nếu hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được $\frac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?

Lời giải:

Gọi x (phút), y (phút) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy một mình để đầy bể (x > 0, y > 0).

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ (bể); vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ (bể).

Đổi: 1 giờ 20 phút = 80 phút.

Sau 1 giờ 20 phút, vòi thứ nhất chảy được 80. $\frac{1}{x}$ (bể).

Sau 1 giờ 20 phút, vòi thứ hai chảy được 80. $\frac{1}{y}$ (bể).

Sau 1 giờ 20 phút, cả hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên ta có phương trình:

$80 \cdot \frac{1}{x} + 80 \cdot \frac{1}{y} = 1$ hay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{80}$ . (1)

Mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút thì chỉ được $\frac{2}{15}$ bể nước nên ta có phương trình: $10 \cdot \frac{1}{x} + 12 \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{15}$ hay $\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{15}$ . (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{80} \\ \frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{15} \end{cases}$ .

Đặt $u = \frac{1}{x}; v = \frac{1}{y}$ . Khi đó hệ phương trình trở thành: $\{\begin{cases} u + v = \frac{1}{80} \\ 5 u + 6 v = \frac{1}{15} \end{cases}$ (I)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5, ta được: $\{\begin{cases} 5 u + 5 v = \frac{1}{16} \\ 5 u + 6 v = \frac{1}{15} \end{cases}$ .

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được $6 v - 5 v = \frac{1}{15} - \frac{1}{16}$ hay $v = \frac{1}{240}$ .

Thế $v = \frac{1}{240}$ vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta có $u + \frac{1}{240} = \frac{1}{80}$ suy ra $u = \frac{1}{120} .$

• Với $u = \frac{1}{120} .$ thì $\frac{1}{x} = \frac{1}{120}$ , suy ra x = 120 (thỏa mãn điều kiện).

• Với $v = \frac{1}{240}$ thì $\frac{1}{y} = \frac{1}{240}$ , suy ra y = 240 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy nếu chảy một mình, để đầy bể vòi thứ nhất chảy trong 120 phút, vòi thứ hai 240 phút.

Bài 1.15 trang 23 Toán 9 Tập 1: Tìm số nhiên n có hai số, biết rằng tổng của hai chữ số bằng 12, và nếu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn n là 36 đơn vị.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là $\bar{a b}$ (a, b ∈ ℕ*; 0 < a < b < 10) .

Tổng của hai chữ số bằng 12 nên ta có a + b = 12. (1)

Số ban đầu là $\bar{a b} = 10 a + b$ .

Khi đổi chỗ hai chữ số thì ta được số mới là $\bar{b a} = 10 b + a$ .

Số mới lớn hơn số cũ 36 đơn vị nên ta có phương trình

10a + b + 36 = 10b + a hay 9b – 9a = 36, suy ra b – a = 4. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} a + b = 12 \\ b - a = 4 \end{cases}$ .

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 2a = 8 hay a = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Thay a = 4 vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có

4 + b = 12, suy ra b = 12 – 4 = 8 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số cần tìm là 48.

Bài 1.16 trang 23 Toán 9 Tập 1: Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu "?"):

Điểm số của mỗi lần bắn	10	9	8	7	6
Số lần bắn	25	42	?	15	?

Em hãy tìm lại các số bị mờ trong hai số đó.

Lời giải:

Gọi số thứ nhất bị mờ là x, số thứ hai bị mờ là y (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ; 0 ≤ x < 100, 0 ≤ y < 100).

Số lần bắn là 100 nên ta có: 25 + 42 + x + 15 + y = 100 hay x + y = 18. (1)

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có phương trình:

10 . 25 + 9 . 42 + 8x + 7 . 15 + 6y = 100 . 8,69

250 + 378 + 8x + 105 + 6y = 869

8x + 6y = 136

4x + 3y = 68. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = 18 \\ 4 x + 3 y = 68 \end{cases}$ . (I)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được: $\{\begin{cases} 3 x + 3 y = 54 \\ 4 x + 3 y = 68 \end{cases}$ .

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được –x = –14 hay x = 14 (thỏa mãn điều kiện).

Thế x = 14 vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta có 14 + y = 18 suy ra y = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số thứ nhất bị mờ là 14, số thứ hai bị mờ là 4.

Bài 1.17 trang 23 Toán 9 Tập 1: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc. Năm nay, hai đơn vị thu hoạch 4 095 tấn thóc. Hỏi năm nay, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc, biết rằng năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái?

Lời giải:

Gọi số thóc của đơn vị thứ nhất và đơn vị thứ hai thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x, y (tấn thóc) (x, y > 0).

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc nên ta có phương trình x + y = 3 600 (tấn thóc).

Năm nay đội thứ nhất làm vượt mức 15% so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được 115%x = 1,15x (tấn thóc).

Đội thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được 112%y = 1,12y (tấn thóc).

Theo bài, năm nay hai đội thu hoạch được 4 095 tấn thóc nên ta có phương trình

1,15x + 1,12y = 4095.

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = 3 600 \\ 1,15 x + 1,12 y = 4 095 \end{cases}$ .

Từ phương trình thứ nhất ta có y = 3 600 – x. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

1,15x + 1,12(3 600 – x) = 4 095, tức là 0,03x + 4 032 = 4 095.

Suy ra 0,03x = 63 hay x = 2 100 (thỏa mãn điều kiện).

Từ đó y = 3 600 – 2 100 = 1 500 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy năm nay đội thứ nhất thu hoạch được 1,15 . 2 100 = 2 415 tấn thóc, đội thứ hai thu hoạch được 1,12 . 1 500 = 1 680 tấn thóc.

Dùng máy tính cầm tay ta kiểm tra được nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{cases} x + y = 3 600 \\ 1,15 x + 1,12 y = 4 095 \end{cases}$ là (2 100; 1 500).

Từ đó, kết quả thu được năm nay đội thứ nhất thu hoạch được 2 415 tấn thóc, đội thứ hai thu hoạch được 1 680 tấn thóc là đúng.

Bài 1.18 trang 23 Toán 9 Tập 1: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Lời giải:

Gọi x (giờ) và y (giờ) lần lượt là thời gian để người thứ nhất và người thứ hai một mình hoàn thành công việc. (x > 16, y > 16).

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc).

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Trong 1 giờ, cả hai người làm được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (công việc).

Cả hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong 16 giờ nên ta có phương trình $16 (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$ hay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}$ . (1)

Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành 25% công việc (hay $\frac{1}{4}$ công việc) nên ta có phương trình

$3 \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ hay $\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$ . (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} \\ \frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \end{cases}$ .

Đặt $u = \frac{1}{x}; v = \frac{1}{y}$ . Khi đó hệ phương trình trở thành: $\{\begin{cases} u + v = \frac{1}{16} \\ u + 2 v = \frac{1}{12} \end{cases}$ . (I)

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ mới, ta được $2 v - v = \frac{1}{12} - \frac{1}{16}$ hay $v = \frac{1}{48}$ .

Thế $v = \frac{1}{48}$ vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta có $u + \frac{1}{48} = \frac{1}{16}$ suy ra $u = \frac{1}{24}$ .

• Với $u = \frac{1}{24}$ thì $\frac{1}{x} = \frac{1}{24}$ , suy ra x = 24 (thỏa mãn điều kiện).

• Với $v = \frac{1}{48}$ thì $\frac{1}{y} = \frac{1}{48}$ , suy ra y = 48 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc sau 24 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay khác:

Giải Toán 9 trang 21

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác