Giải Toán 7 trang 76 Tập 2 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 7 trang 76 Tập 2 trong Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác Toán 7 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 7 dễ dàng làm bài tập Toán 7 trang 76.

Bài 9.20 trang 76 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu “?” để được các đẳng thức:

BG = ? BN, CG = ? CP;

BG = ? GN, CG = ? GP.

Lời giải:

Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G

Ta có BG = $\frac{2}{3}$ BN, CG = $\frac{2}{3}$ CP.

GN = BN – BG = BN – $\frac{2}{3}$ BN = $\frac{1}{3}$ BN.

GP = CP – CG = CP – $\frac{2}{3}$ CP = $\frac{1}{3}$ CP.

Khi đó BG : GN = $\frac{2}{3}$ BN : $\frac{1}{3}$ BN = 2, CG : GP = $\frac{2}{3}$ CP : $\frac{1}{3}$ CP = 2.

Do đó BG = 2 GN, CG = 2 GP.

Vậy BG = $\frac{2}{3}$ BN, CG = $\frac{2}{3}$ CP, BG = 2 GN, CG = 2 GP.

Bài 9.21 trang 76 Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải:

Chứng minh rằng: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên

Giả sử tam giác ABC cân tại A có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên AB = 2BM, AC = 2CN.

Do đó BM = CN.

Xét ∆MBC và ∆NCB có:

BM = CN (chứng minh trên).

$\hat{M B C} = \hat{N C B}$ (chứng minh trên).

BC chung

Suy ra ∆MBC = ∆NCB (c - g - c).

Do đó CM = BN (2 cạnh tương ứng).

Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Giả sử tam giác ABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G.

Chứng minh rằng: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên

G là trọng tâm tam giác ABC nên CG = $\frac{2}{3}$ CM, BG = $\frac{2}{3}$ BN.

Do CM = BN nên CG = BG.

∆BGC có CG = BG nên ∆BGC cân tại G.

Do đó $\hat{G B C} = \hat{G C B}$ .

Xét ∆MBC và ∆NCB có:

MC = NB (theo giả thiết).

$\hat{M C B} = \hat{N B C}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Suy ra ∆MBC = ∆NCB (c-g-c).

Do đó $\hat{M B C} = \hat{N C B}$ (2 góc tương ứng).

∆ABC có $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ nên ∆ABC cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Bài 9.22 trang 76 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

Xét ∆GBC có $\hat{G B C} > \hat{G C B}$ nên GC > GB.

Do G là trọng tâm của ∆ABC nên CG = $\frac{2}{3}$ CN, BG = $\frac{2}{3}$ BM.

Khi đó $\frac{2}{3}$ CN > $\frac{2}{3}$ BM.

Do đó CN > BM.

Vậy CN > BM.

Bài 9.23 trang 76 Toán 7 Tập 2: Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC biết góc BAC bằng 120^o.

Lời giải:

Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC

Xét ∆ABC có $\hat{B A C} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 °$ .

Do đó $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 ° - \hat{B A C}$ = 180^o – 120^o = 60^o.

Do CI là tia phân giác của $\hat{A C B}$ nên $\hat{A C B} = 2 \hat{I C B}$ .

Do BI là tia phân giác của $\hat{A B C}$ nên $\hat{A B C} = 2 \hat{I B C}$ .

Do đó $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 2 (\hat{I B C} + \hat{I C B})$ .

hay 60^o = 2 $(\hat{I B C} + \hat{I C B})$ .

hay $\hat{I B C} + \hat{I C B}$ = 30^o.

Xét ∆IBC có $\hat{B I C} + \hat{I B C} + \hat{I C B} = 180 °$ .

Do đó $\hat{B I C} = 180 ° - (\hat{I B C} + \hat{I C B})$ = 180^o - 30^o = 150^o.

Vậy $\hat{B I C}$ = 150^o.

Bài 9.24 trang 76 Toán 7 Tập 2: Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF.

Lời giải:

Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A

Do ∆ABC cân tại A nên $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Do BE là tia phân giác của $\hat{A B C}$ nên $\hat{A B C} = 2 \hat{E B C}$ .

Do CF là tia phân giác của $\hat{A C B}$ nên $\hat{A C B} = 2 \hat{F C B}$ .

Mà $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ nên $\hat{E B C} = \hat{F C B}$ .

Xét ∆FBC và ∆ECB có:

$\hat{F C B} = \hat{E B C}$ (chứng minh trên).

BC chung.

$\hat{F B C} = \hat{E C B}$ (chứng minh trên).

Suy ra ∆FBC = ∆ECB (g - c - g).

Do đó CF = BE (2 cạnh tương ứng).

Vậy BE = CF.

Bài 9.25 trang 76 Toán 7 Tập 2: Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB.

a) Hãy giải thích tại sao DP = DR.

b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ.

c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A?

Lời giải:

Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D

a) Do BD là tia phân giác của $\hat{A B C}$ nên $\hat{D B R} = \hat{D B P} = \frac{1}{2} \hat{P B R}$ .

Xét ∆DBR vuông tại R và ∆DBP vuông tại P có:

$\hat{D B R} = \hat{D B P}$ (chứng minh trên).

BD chung.

Suy ra ∆DBR = ∆DBP (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó DR = DP (2 cạnh tương ứng).

b) Do CD là tia phân giác của $\hat{A C B}$ nên $\hat{D C Q} = \hat{D C P} = \frac{1}{2} \hat{P C Q}$ .

Xét ∆DCQ vuông tại Q và ∆DCP vuông tại P có:

$\hat{D C Q} = \hat{D C P}$ (chứng minh trên).

CD chung.

Suy ra ∆DCQ = ∆DCP (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó DQ = DP (2 cạnh tương ứng).

c) Từ ý a và b ta có DR = DP và DQ = DP nên DR = DQ.

Ta có D nằm trong $\hat{B A C}$ và D cách đều hai cạnh AB và AC của $\hat{B A C}$ nên D nằm trên tia phân giác của $\hat{B A C}$ .

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Kết nối tri thức khác