Bài 9.21 trang 76 Toán 7 Tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 9.21 trang 76 Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải:

Bài 9.21 trang 76 Toán 7 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 7

Giả sử tam giác ABC cân tại A có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên AB = 2BM, AC = 2CN.

Do đó BM = CN.

Xét ∆MBC và ∆NCB có:

BM = CN (chứng minh trên).

$\hat{M B C} = \hat{N C B}$ (chứng minh trên).

BC chung

Suy ra ∆MBC = ∆NCB (c - g - c).

Do đó CM = BN (2 cạnh tương ứng).

Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Giả sử tam giác ABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G.

Bài 9.21 trang 76 Toán 7 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 7

G là trọng tâm tam giác ABC nên CG = $\frac{2}{3}$ CM, BG = $\frac{2}{3}$ BN.

Do CM = BN nên CG = BG.

∆BGC có CG = BG nên ∆BGC cân tại G.

Do đó $\hat{G B C} = \hat{G C B}$ .

Xét ∆MBC và ∆NCB có:

MC = NB (theo giả thiết).

$\hat{M C B} = \hat{N B C}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Suy ra ∆MBC = ∆NCB (c-g-c).

Do đó $\hat{M B C} = \hat{N C B}$ (2 góc tương ứng).

∆ABC có $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ nên ∆ABC cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 7 Kết nối tri thức khác