13 Bài tập Vectơ và các phép toán trong không gian (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 12

Với 13 bài tập trắc nghiệm Vectơ và các phép toán trong không gian Toán lớp 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

I. Nhận biết

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$

Vectơ nào sau đây cùng phương với $\overrightarrow{BC}$?

A. $\overrightarrow{DC}.$

B. $\overrightarrow{DA}.$

C. $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}.$

D. $\overrightarrow{C^{\text{'}}C}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Vectơ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ là $\overrightarrow{DA}.$

Câu 2. Cho hình chóp $S.ABC$. Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{AB}$ là

A. $\overrightarrow{BS}.$

B. $\overrightarrow{BA}.$

C. $\overrightarrow{SB}.$

D. $\overrightarrow{SC}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}$

Câu 3. Cho khối lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Khi đó, góc giữa vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{AD}$ là

A. $90°.$

B. $60°.$

C. $45°.$

D. $30°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=90°.$

Câu 4. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=90°.$

B. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°.$

C. $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=90°.$

D. $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}A},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)=45°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình lập phương.

Do đó, $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{DAB}=90°;$

            $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}=45°$

            $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)=90°;$

           $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}A},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{C^{\text{'}}C},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)=180°-\widehat{C^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}}=135°.$

Câu 5. Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

B. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\sin \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

D. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức tích vô hướng của hai vectơ  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ là:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$. Gọi M là trung điểm của cạnh BB'. Đặt $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{c}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}.$

B. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}.$

C. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}.$

D. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}.$

Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm tam giác BCD. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}.$

B. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}.$

C. $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CG}.$

D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$, suy ra đáp án A đúng.

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{GA}$, suy ra đáp án B sai.

$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{CG}\iff$$\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CG}\iff \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CG}.$

Suy ra đáp án C đúng.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{AG.}$

Do đó, đáp án D đúng.

Vậy chọn B.

Câu 8. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

A. $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.$

B. $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=-\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.$

C. $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$

D. $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=-\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{B\text{'}B}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$

Câu 9. Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.$

B. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0.$

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-1.$

D. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ nên $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0°$

Suy ra $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\cos 0°=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.$

III. Vận dụng

Câu 10. Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích $SA,SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60°$. Biết $\overrightarrow{P}=m.\overrightarrow{g}$ trong đó $\overrightarrow{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10 m/s², $\overrightarrow{P}$là trọng lượng của vật có đơn vị kg.

Khi đó:

a) $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD}$ là 4 vectơ đồng phẳng.

b) $\left|\overrightarrow{SA}\right|=\left|\overrightarrow{SB}\right|=\left|\overrightarrow{SC}\right|=\left|\overrightarrow{SD}\right|.$

c) Độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm bằng 50N.

d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng $\frac{25\sqrt{3}}{2}N$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

a) Đúng.

b) Đúng. Do $S.ABCD$ là chóp tứ giác đều nên $\left|\overrightarrow{SA}\right|=\left|\overrightarrow{SB}\right|=\left|\overrightarrow{SC}\right|=\left|\overrightarrow{SD}\right|.$

c) Đúng. Độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm là: $P=mg=5.10=50N.$

d) Sai. Ta có là hình chóp tứ giác đều ⇒ $SA=SB=SC=SD$ và $\widehat{ASC}=60°$ nên tam giác $SAC$ đều.

Gọi O là trung điểm AC.

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với mọi lực hay $4\overrightarrow{SO}=\overrightarrow{P}$ hay $4SO=P$ ⇔ $SO=\mathrm{12,5}$

Xét tam giác đều SAC có $SA=\frac{\sqrt{3}}{2}SO=\frac{25\sqrt{3}}{4}.$

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là $\frac{25\sqrt{3}}{4}N$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Gọi I, Jlần lượt là trung điểm của SA, SC. G là trọng tâm tam giác SBD

a) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}$.

b) $\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}$.

c) $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$

d) $\overrightarrow{A{G}^2}=\overrightarrow{A{S}^2}+\overrightarrow{A{B}^2}+\overrightarrow{A{D}^2}$.

Hiển thị đáp án

a) Ta có ABCDlà hình vuông nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ ( qui tắc hình bình hành) suy ra $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}$.

b) Do G là trọng tâm tam giác SBDnên

$\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow (\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AS})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.

c) Ta có ABCDlà hình vuông nên $AC\perp BD\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0\Rightarrow 2\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{BD}=0$$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{BD}=0$.

d) Do G là trọng tâm tam giác SBDnên

Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên

ABCDlà hình vuông nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\left(3\right)$.

Từ (1); (2); (3)ta được 9AG² = AS² + AB² + AD².

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Nếu một vật có khối lượng m(kg) thì lực hấp dẫn $\overrightarrow{P}$ của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$, trong đó $\overrightarrow{g}$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8 m/s². Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 105 gam (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hiển thị đáp án

Đổi 105 g = 0,105 kg.

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là:

$\left|\overrightarrow{P}\right|=m\left|\overrightarrow{g}\right|$ = 0,105.9,8 = 1,029 N ≈ 1,03N.

Trả lời: 1,03.

Câu 2.Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng m = 3 kg được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SDsao cho S.ABCDlà hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=90°$. Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng $\frac{a\sqrt{2}}{4}$. Lấy g = 10m/s², khi đó giá trị của abằng bao nhiêu?

Hiển thị đáp án

Gọi Olà tâm của hình vuông ABCD.

Trọng lượng của vật nặng là P = mg = 3.10 = 30(N). Suy ra 4$\left|\overrightarrow{SO}\right|$ = P = 30(N) $\Rightarrow SO=\frac{15}{2}$.

Lại có tam giác ASCvuông cân tại Snên

Vậy a = 30.

Trả lời: 30.

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 1

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 2

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---