Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1}$ .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].

Lời giải:

a) Xét hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1}$ .

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 1)}^{2}}$ . Ta có y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 1; 1) và (1; 3), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và y_CT = 10.

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và y_CĐ = 2.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = - \infty; \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = + \infty$

Ta có $a = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x (x - 1)} = 1$ và $b = \lim_{x \to + \infty} (\frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} - x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{5 x - 1}{x - 1} = 5$ .

Suy ra đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = - \infty; \lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = + \infty$ . Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ $\frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = 0$ ⇔ x = $- 2 + \sqrt{5}$ hoặc x = $- 2 - \sqrt{5}$ .

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm $(- 2 - \sqrt{5}; 0)$ và điểm $(- 2 + \sqrt{5}; 0)$ .

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 6).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x + 5.

b) Xét hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1}$ với x ∈ [2; 4].

Trên khoảng (2; 4), y' = 0 khi x = 3.

Ta có y(2) = 11; y(3) = 10; y(4) = $\frac{31}{3}$ .

Vậy $\max_{[2; 4]} y = 11$ tại x = 2 và $\min_{[2; 4]} y = 10$ tại x = 3.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Chân trời sáng tạo khác