Bài 11 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Bài 11 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4$ .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Lời giải:

a) Xét hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4$ .

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = x²– 2x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (0; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = $\frac{8}{3}$ .

● Các giới hạn tại vô cực:

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} x^{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{3}}) = - \infty; \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} x^{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{3}}) = + \infty$

Bảng biến thiên:

Bài 11 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 4 nên (0; 4) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4$ = 0, phương trình này có 1 nghiệm nên đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại 1 điểm.

Điểm (0; 4) là cực đại và điểm $(2; \frac{8}{3})$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (3; 4).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 11 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I $(1; \frac{10}{3})$ .

b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (0; 4) và $(2; \frac{8}{3})$ .

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

$d = \sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(\frac{8}{3} - 4)}^{2}} = \frac{4 \sqrt{10}}{3}$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Chân trời sáng tạo khác