Giải Toán 12 trang 81 Tập 1 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 12 trang 81 Tập 1 trong Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ Toán 12 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 81.

Bài 5 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{a} = (3; 2; - 1), \vec{b} = (- 2; 1; 2)$ . Tính côsin của góc $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải:

Ta có Bài 5 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Bài 6 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(– 2; 3; 0), B(4; 0; 5), C(0; 2; – 3).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính $\cos \hat{B A C}$ .

Lời giải:

a) Ta có $\vec{A B} = (6; - 3; 5)$ , $\vec{A C} = (2; - 1; - 3)$ .

Suy ra $\vec{A B} = (6; - 3; 5) \neq k \vec{A C} = (2 k; - k; - 3 k)$ với mọi k ∈ ℝ, do đó hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có Bài 6 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Bài 6 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Ta có $\vec{B C} = (- 4; 2; - 8)$ .

Suy ra Bài 6 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Chu vi tam giác ABC là C = AB + AC + BC = $\sqrt{70} + \sqrt{14} + 2 \sqrt{21}$ .

c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là (x_G; y_G; z_G).

Ta có $x_{G} = \frac{- 2 + 4 + 0}{3} = \frac{2}{3}$ ; $y_{G} = \frac{3 + 0 + 2}{3} = \frac{5}{3}; z_{G} = \frac{0 + 5 + (- 3)}{3} = \frac{2}{3}$ .

Vậy $G (\frac{2}{3}; \frac{5}{3}; \frac{2}{3})$ .

d) Ta có Bài 6 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Do đó hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau nên $\hat{B A C} = 90 °$ . Vậy $\cos \hat{B A C}$ = 0.

Bài 7 trang 81 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; – 1; 1), C'(4; 5; – 5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{A C}$ và $\vec{B^{'} D^{'}}$ ;

b) $\vec{A C^{'}}$ và $\vec{B D}$ .

Lời giải:

a) Ta có $\vec{A B} = (1; 1; 1)$ , $\vec{A D} = (0; - 1; 0)$ ,

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành, do đó

$\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D} = (1 + 0; 1 + (- 1); 1 + 0) = (1; 0; 1)$ .

Ta có $\vec{B D} = (- 1; - 2; - 1)$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên $\vec{B^{'} D^{'}} = \vec{B D} = (- 1; - 2; - 1)$ .

Ta có Bài 7 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Chọn $\vec{a} = (2; 0; - 2)$ , vectơ $\vec{a}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B^{'} D^{'}}$ .

b) Ta có $\vec{A C^{'}} = (3; 5; - 6)$ , $\vec{B D} = (- 1; - 2; - 1)$ .

Bài 7 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Chọn $\vec{b} = (- 17; 9; - 1)$ , vectơ $\vec{b}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{A C^{'}}$ và $\vec{B D}$ .

Bài 8 trang 81 Toán 12 Tập 1: Một vật có trọng lượng 300 N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm P(– 2; 0; 0), Q(1; $\sqrt{3}$ ; 0), R(1; $- \sqrt{3}$ ; 0) còn đầu kia gắn với vật tại điểm S(0; 0; $- 2 \sqrt{3}$ ) như Hình 38. Gọi $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp RS, QS và PS. Tìm tọa độ của các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ .

Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Lời giải:

Theo giả thiết, ta có các điểm S(0; 0; $- 2 \sqrt{3}$ ), P(– 2; 0; 0), Q(1; $\sqrt{3}$ ; 0), R(1; $- \sqrt{3}$ ; 0).

Khi đó: $\vec{S P} = (- 2; 0; 2 \sqrt{3})$ , $\vec{S Q} = (1; \sqrt{3}; 2 \sqrt{3})$ , $\vec{S R} = (1; - \sqrt{3}; 2 \sqrt{3})$ .

Suy ra $|\vec{S P}| = |\vec{S Q}| = |\vec{S R}| = 4$ . Lại có $\vec{P Q} = (3; \sqrt{3}; 0)$ , $\vec{Q R} = (0; - 2 \sqrt{3}; 0)$ , $\vec{R P} = (- 3; \sqrt{3}; 0)$ , vì $|\vec{P Q}| = |\vec{Q R}| = |\vec{R P}| = 2 \sqrt{3}$ nên tam giác PQR đều.

Do đó, $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}| = |\vec{F_{3}}|$ . Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

$\vec{F_{1}} = c \vec{S R} = (c; - \sqrt{3} c; 2 \sqrt{3} c)$ ,

$\vec{F_{2}} = c \vec{S Q} = (c; \sqrt{3} c; 2 \sqrt{3} c)$ ,

$\vec{F_{3}} = c \vec{S P} = (- 2 c; 0; 2 \sqrt{3} c)$ ,

Suy ra $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = (0; 0; 6 \sqrt{3} c)$ .

Mặt khác, ta có: $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{F}$ , trong đó $\vec{F} = (0; 0; - 300)$ là trọng lực của vật.

Suy ra $6 \sqrt{3} c = - 300$ , tức là $c = \frac{- 50 \sqrt{3}}{3}$ .

Vậy $\vec{F_{1}} = (\frac{- 50 \sqrt{3}}{3}; 50; - 100)$ , $\vec{F_{2}} = (\frac{- 50 \sqrt{3}}{3}; - 50; - 100)$ , $\vec{F_{3}} = (\frac{100 \sqrt{3}}{3}; 0; - 100)$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Cánh diều khác