Bài 6 trang 87 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Bài 6 trang 87 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(– 3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; - 4; 1)$ ;

b) (P) đi qua điểm N(2; – 1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}} = (1; - 3; - 2)$ và $\vec{u_{2}} = (- 3; 4; 1)$ ;

c) (P) đi qua điểm I(4; 0; – 7) và song song với mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 3 = 0;

d) (P) đi qua điểm K(– 4; 9; 2) và vuông góc với đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 6}{5}$

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(– 3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; - 4; 1)$ là:

2(x + 3) – 4(y – 1) + 1(z – 4) = 0 ⇔ 2x – 4y + z + 6 = 0.

b) Xét vectơ $\vec{n} = [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (|\begin{matrix} - 3 & - 2 \\ 4 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & - 3 \\ - 3 & 4 \end{matrix}|)$ , tức là $\vec{n} = (5; 5; - 5)$ .

Khi đó, $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

5(x – 2) + 5(y – (– 1)) – 5(z – 5) = 0 ⇔ x + y – z + 4 = 0.

c) Mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{Q}} = (2; 1; - 1)$ .

Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) nhận $\vec{n_{Q}} = (2; 1; - 1)$ làm một vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

2(x – 4) + 1(y – 0) – 1(z + 7) = 0 ⇔ 2x + y – z – 15 = 0.

d) Đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 6}{5}$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; 1; 5)$ .

Vì ∆ ⊥ (P) nên mặt phẳng (P) nhận $\vec{u} = (2; 1; 5)$ làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

2(x + 4) + 1(y – 9) + 5(z – 2) = 0 ⇔ 2x + y + 5z – 11 = 0.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 5 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Cánh diều khác