Luyện tập 2 trang 56 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Luyện tập 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $⊥$ (ABC), SA = h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC.

a) Tính d((MNP), (ABC)) và d(NP, (ABC)).

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B và AB = a. Tính d(A, (SBC)).

Luyện tập 2 trang 56 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Lời giải:

Luyện tập 2 trang 56 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Xét tam giác SAB có M là trung điểm của SA, N là trung điểm của SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB suy ra MN // AB, do đó MN // (ABC).

Xét tam giác SBC có N là trung điểm của SB, P là trung điểm của SC nên PN là đường trung bình của tam giác SBC suy ra PN // BC, do đó PN // (ABC).

Vì MN // (ABC) và PN // (ABC) mà MN $\cap$ PN = N nên (MNP) // (ABC).

Khi đó d((MNP), (ABC)) = d(M, (ABC)).

Vì SA $⊥$ (ABC) nên MA $⊥$ (ABC). Do đó d(M, (ABC)) = MA.

Vì M là trung điểm SA nên AM = $\frac{S A}{2} = \frac{h}{2}$ .

Do đó d((MNP), (ABC)) = $\frac{h}{2}$ .

Vì PN // (ABC) nên d(NP, (ABC)) = d(N, (ABC)).

Vì MN // (ABC) nên d(N, (ABC)) = d(M, (ABC)) = MA = $\frac{h}{2}$ .

Vậy d(NP, (ABC)) = $\frac{h}{2}$ .

b) Vì ABC là tam giác vuông tại B nên BC $⊥$ AB.

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ BC mà BC $⊥$ AB nên BC $⊥$ (SAB), suy ra (SBC) $⊥$ (SAB).

Kẻ AH $⊥$ SB tại H.

Vì Luyện tập 2 trang 56 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Khi đó d(A, (SBC)) = AH.

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AB.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AH là đường cao, có

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} = \frac{1}{h^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{a^{2} + h^{2}}{a^{2} h^{2}}$ $\Rightarrow A H = \frac{a h}{\sqrt{a^{2} + h^{2}}}$ .

Vậy d(A, (SBC)) = $\frac{a h}{\sqrt{a^{2} + h^{2}}}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 26: Khoảng cách hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác