Luyện tập 1 trang 55 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Luyện tập 1 trang 55 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA' = h (H.7.77).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC'.

Luyện tập 1 trang 55 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Lời giải:

Luyện tập 1 trang 55 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng nên BB' $⊥$ (ABC) nên (BCC'B') $⊥$ (ABC).

Hạ AH $⊥$ BC tại H.

Có Luyện tập 1 trang 55 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Khi đó AH chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a.

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, có

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{2}{a^{2}}$ $\Rightarrow A H = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') bằng $\frac{a}{\sqrt{2}}$ .

b) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AB $⊥$ AC.

Vì AA' $⊥$ (ABC) nên AA' $⊥$ AB mà AB $⊥$ AC nên AB $⊥$ (ACC'A'), suy ra AB $⊥$ AC'.

Do đó tam giác ABC' là tam giác vuông tại A.

Hạ AK $⊥$ BC' tại K. Khi đó d(A, BC') = AK.

Vì ACC'A' là hình chữ nhật nên $A {C^{'}}^{2} = A {A^{'}}^{2} + A^{'} {C^{'}}^{2} = h^{2} + a^{2}$ .

Xét tam giác ABC' vuông tại A, AK là đường cao, ta có:

$\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A {C^{'}}^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2} + h^{2}}$ $= \frac{2 a^{2} + h^{2}}{a^{2} (a^{2} + h^{2})}$

$\Rightarrow$ $A K^{2} = \frac{a^{2} (a^{2} + h^{2})}{2 a^{2} + h^{2}}$ $\Rightarrow A K = a \sqrt{\frac{a^{2} + h^{2}}{2 a^{2} + h^{2}}}$

Vậy khoảng cách từ A đến BC' bằng $a \sqrt{\frac{a^{2} + h^{2}}{2 a^{2} + h^{2}}}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 26: Khoảng cách hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác