Bài 34 trang 109 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Bài 34 trang 109 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\hat{B A D} = 60 °$ . Biết SA $⊥$ (ABCD) và SA = a.

a) Chứng minh rằng BD $⊥$ SC.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Lời giải:

Bài 34 trang 109 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Vì ABCD là hình thoi nên AC $⊥$ BD.

Vì SA $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ BD mà AC $⊥$ BD nên BD $⊥$ (SAC), suy ra BD $⊥$ SC.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Kẻ OE $⊥$ SC tại E.

Vì BD $⊥$ (SAC) nên BD $⊥$ OE mà OE $⊥$ SC nên d(BD, SC) = OE.

Xét tam giác ABD có AB = AD = a nên tam giác ABD cân tại A mà $\hat{B A D} = 60 °$ nên tam giác ABD đều.

Xét tam giác đều ABD cạnh a có AO là đường cao nên AO = $\frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow$ AC = 2AO = a $\sqrt{3}$ .

Vì SA $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ AC hay tam giác SAC vuông tại A.

Xét tam giác SAC vuông tại A, có $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + 3 a^{2}} = 2 a$ .

Vì O là trung điểm của AC nên CO = AO = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét $∆$ CEO và $∆$ CAS có: $\hat{C}$ chung và $\hat{C E O} = \hat{CAS} = 90 °$ nên $∆$ CEO đồng dạng với $∆$ CAS, suy ra $\frac{C O}{C S} = \frac{E O}{S A}$ $\Rightarrow E O = \frac{C O \cdot S A}{C S}$ $= \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot a}{2 a} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

Vậy d(BD, SC) = $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác