Giải Toán 11 trang 35 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 11 trang 35 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 6 Toán 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 35.

Bài 11 trang 35 Toán 11 Tập 2: Biết 4^α + 4^−α = 5. Tính giá trị biểu thức :

a )2^α + 2^−α;

b )4^2α + 4^−2α.

Lời giải:

a) Ta có ${(2^{α} + 2^{- α})}^{2} = {(2^{α})}^{2} + 2 . 2^{α} . 2^{- α} + {(2^{- α})}^{2}$

$= {(2^{2})}^{α} + 2 + {(2^{2})}^{- α} = 4^{α} + 2 + 4^{- α}$

$= (4^{α} + 4^{- α}) + 2 = 5 + 2 = 7$ .

Vậy $2^{α} + 2^{- α} = \sqrt{7}$ .

b) Ta có $4^{2 α} + 4^{- 2 α} = {(4^{α})}^{2} + {(4^{- α})}^{2}$

$= {(4^{α})}^{2} + 2 . 4^{α} . 4^{- α} + {(4^{- α})}^{2} - 2 . 4^{α} . 4^{- α}$

$= {(4^{α} + 4^{- α})}^{2} - 2 = 5^{2} - 2 = 23$ .

Vậy $4^{2 α} + 4^{- 2 α} = 23$ .

Bài 12 trang 35 Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của biểu thức :

a) $\log_{2} 72 - \frac{1}{2} (\log_{2} 3 + \log_{2} 27)$ ;

b) $5^{\log_{2} 40 - \log_{2} 5}$ ;

c) $3^{2 + \log_{9} 2}$ .

Lời giải:

a ) $\log_{2} 72 - \frac{1}{2} (\log_{2} 3 + \log_{2} 27) = \log_{2} 72 - \frac{1}{2} \log_{2} (3 . 27)$

$= \log_{2} 72 - \frac{1}{2} \log_{2} 81 = \log_{2} 72 - \log_{2} 81^{\frac{1}{2}}$

$= \log_{2} 72 - \log_{2} 9 = \log_{2} \frac{72}{9} = \log_{2} 8$

$= \log_{2} 2^{3} = 3 \log_{2} 2 = 3$ ;

b) $5^{\log_{2} 40 - \log_{2} 5} = 5^{\log_{2} \frac{40}{5}} = 5^{\log_{2} 8} = 5^{\log_{2} 2^{3}}$

$= 5^{3 \log_{2} 2} = 5^{3} = 125$ ;

c) $3^{2 + \log_{9} 2} = 3^{\log_{9} 9^{2} + \log_{9} 2} = 3^{\log_{9} (9^{2} . 2)} = 3^{\log_{3^{2}} (9^{2} . 2)}$

$= 3^{\frac{1}{2} \log_{3} (9^{2} . 2)} = {(3^{\log_{3} (9^{2} . 2)})}^{\frac{1}{2}} = {(9^{2} . 2)}^{\frac{1}{2}} = 9 \sqrt{2}$ .

Bài 13 trang 35 Toán 11 Tập 2: Biết rằng 5^x = 3 và 3^y = 5. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của xy.

Lời giải:

Ta có 5^x = 3 ⇔ x = log₅ 3 và 3^y = 5 ⇔ y = log₃ 5.

Do đó $x y = l o g_{5} 3 . l o g_{3} 5 = l o g_{5} 3 . \frac{1}{l o g_{5} 3} = 1$ .

Bài 14 trang 35 Toán 11 Tập 2: Viết công thức biểu thị y theo x, biết

$2 \log_{2} y = 2 + \frac{1}{2} \log_{2} x$ .

Lời giải:

Ta có $2 \log_{2} y = 2 + \frac{1}{2} \log_{2} x$

$\Leftrightarrow \log_{2} y^{2} = \log_{2} 2^{2} + \log_{2} x^{\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow \log_{2} y^{2} = \log_{2} (2^{2} . x^{\frac{1}{2}})$

$\Leftrightarrow y^{2} = 2^{2} . x^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow y = 2 \sqrt[4]{x}$ .

Bài 15 trang 35 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) ${(\frac{1}{4})}^{x - 2} = \sqrt{8}$ ;

b) $9^{2 x - 1} = 81 . 27^{x}$ ;

c) $2 \log_{5} (x - 2) = \log_{5} 9$ ;

d) $\log_{2} (3 x + 1) = 2 - \log_{2} (x - 1)$ .

Lời giải:

a) ${(\frac{1}{4})}^{x - 2} = \sqrt{8} \Leftrightarrow {({(\frac{1}{2})}^{2})}^{x - 2} = 8^{\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow {(\frac{1}{2})}^{2 (x - 2)} = {({(\frac{1}{2})}^{- 3})}^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow {(\frac{1}{2})}^{2 x - 4} = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{3}{2}}$

$\Leftrightarrow 2 x - 4 = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 x = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{5}{4}$ .

b) $9^{2 x - 1} = 81 . 27^{x} \Leftrightarrow {(3^{2})}^{2 x - 1} = 3^{4} . {(3^{3})}^{x}$

$\Leftrightarrow 3^{4 x - 2} = 3^{3 x + 4} \Leftrightarrow 4 x - 2 = 3 x + 4$

$\Leftrightarrow 4 x - 2 = 3 x + 4 \Leftrightarrow 4 x - 3 x = 2 + 4 \Leftrightarrow x = 6$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 6.

c) ĐKXĐ: x – 2 > 0 ⇔ x > 2.

Khi đó: $2 \log_{5} (x - 2) = \log_{5} 9 \Leftrightarrow \log_{5} {(x - 2)}^{2} = \log_{5} 3^{2}$

Bài 15 trang 35 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5.

d)ĐKXĐ: Bài 15 trang 35 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Khi đó: $\log_{2} (3 x + 1) = 2 - \log_{2} (x - 1)$

$\Leftrightarrow \log_{2} (3 x + 1) + \log_{2} (x - 1) = 2$

Bài 15 trang 35 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

$\Leftrightarrow \log_{2} (3 x^{2} - 2 x - 1) = \log_{2} 4$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} - 2 x - 1 = 4 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{5}{3}$ .

Bài 16 trang 35 Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình :

a) ${(\frac{1}{9})}^{x + 1} > \frac{1}{81}$ ;

b) ${(\sqrt[4]{3})}^{x} \leq 27 . 3^{x}$ ;

c) $\log_{2} (x + 1) \leq \log_{2} (2 - 4 x)$ .

Lời giải:

a) ${(\frac{1}{9})}^{x + 1} > \frac{1}{81} \Leftrightarrow {(\frac{1}{9})}^{x + 1} > {(\frac{1}{9})}^{2}$

$\Leftrightarrow x + 1 < 2$ (do $0 < \frac{1}{9} < 1$ )

$\Leftrightarrow x < 1$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x < 1.

b) ${(\sqrt[4]{3})}^{x} \leq 27 . 3^{x} \Leftrightarrow {(3^{\frac{1}{4}})}^{x} \leq 3^{3} . 3^{x}$

$\Leftrightarrow 3^{\frac{x}{4}} \leq 3^{3 + x} \Leftrightarrow \frac{x}{4} \leq 3 + x$ (do 3 > 1)

$\Leftrightarrow x \geq - 4$ .

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm $x \geq - 4$ .

c)ĐKXĐ: Bài 16 trang 35 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Khi đó: $\log_{2} (x + 1) \leq \log_{2} (2 - 4 x)$

$\Leftrightarrow x + 1 \leq 2 - 4 x \Leftrightarrow 5 x \leq 1 \Leftrightarrow x \leq \frac{1}{5}$ .

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình $- 1 < x \leq \frac{1}{5}$ .

Bài 17 trang 35 Toán 11 Tập 2: Thực hiện một mẻ nuôi cấy vi khuẩn với 1000 vi khuẩn ban đầu, nhà sinh học phát hiện số lượng vi khuẩn tăng thêm 25% sau mỗi hai ngày.

a) Công thức P(t) = P₀.a^t cho phép tính số lượng vi khuẩn của mẻ nuôi cấy sau t ngày kể từ thời điểm ban đầu. Xác định các tham số P₀ và a (a > 0). Làm tròn a đến hàn phần trăm.

b) Sau 5 ngày thì số lượng vi khuẩn bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng trăm.

c) Sau bao nhiêu ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

a) Ban đầu có 1000 vi khuẩn nên P₀=1000.

Sau 2 ngày, số lượng vi khuẩn là:

P=125% . P₀=125%.1000=1250

Ta có:P(2)=P₀.a²⇔1250=1000.a²

⇔a²=1,25⇔a≈1,12.

b) Số lượng vi khuẩn sau 5 ngày là:

P(5)=P₀.a⁵=1000.1,122≈1800(vi khuẩn).

c) Với P(t)=2P₀, ta có:

P(t)=P₀.a^t⇔2P₀=P₀.1,12^t

⇔1,12^t=2⇔t=log_1,122≈6,1(ngày)

Vậy sau 6,1 ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu.

Bài 18 trang 35 Toán 11 Tập 2: Nhắc lại rằng, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = −log [H⁺], trong đó [H⁺] là nồng độ H⁺ của dung dịch đó tính bằng mol/L. Nồng độ H⁺ trong dung dịch cho biết độ acid của dung dịch đó.

a) Dung dịch acid A có độ pH bằng 1,9; dung dịch B có độ pH bằng 2,5. Dung dịch nào có độ acid cao hơn và cao hơn bao nhiêu lần?

b) Nước cất có nồng độ H⁺ là 10^–7 mol/L. Nước chảy từ một vòi nước có độ pH từ 6,5 đến 6,7 thì có độ acid cao hay thấp hơn nước cất.

Lời giải:

a)• pH_A=1,9⇔−log[H⁺]=1,9

⇔log[H⁺]=−1,9⇔H⁺=10^−1,9.

Vậy độ acid của dung dịch A là 10^−1,9 mol/L.

• pH_B=2,5⇔−log[H⁺]=2,5

⇔log[H⁺]=−2,5⇔H⁺=10^−2,5.

Vậy độ acid của dung dịch B là 10^−2,5mol/L.

Ta có: $\frac{10^{- 1,9}}{10^{- 2,5}} \approx 3,98$ .

Vậy độ acid của dung dịch A cao hơn độ acid của dung dịch B 3,98 lần.

b) Ta có:6,5+]<6,7

⇔−6,5>log[H⁺]>−6,7⇔10^−6,5>H⁺>10^−6,7.

Do đó nước chảy từ vòi nước có độ acid từ 10^−6,7mol/L đến 10^−6,5mol/L.

Vậy nước đó có độ acid cao hơn nước cất.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 6 hay khác:

Giải Toán 11 trang 35

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác