Bài 5 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải sgk Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ . Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn.

Lời giải:

Ta có: $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1} = 2 - \frac{3}{n + 1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 1 ≥ 2

$\Rightarrow - \frac{3}{n + 1} \geq - \frac{3}{2}$

$\Rightarrow 2 - \frac{3}{n + 1} \geq 2 - \frac{3}{2}$

$\Rightarrow u_{n} \geq \frac{1}{2}$

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{3}{n + 1} > 0$ khi đó u_n < 2.

Suy ra $\frac{1}{3} \leq u_{n} < 2$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Ta có: $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 1}{n + 1 + 1} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$

Xét hiệu:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2} - \frac{2 n - 1}{n + 1} = \frac{2 n^{2} + 3 n + 1 - 2 n^{2} - 3 n + 2}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Suy ra u_n+1 > u_n nên dãy số (u_n) tăng.

Vậy dãy số (u_n) tăng và bị chặn.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Các bài học để học tốt Toán 11 Bài 1: Dãy số:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác