Giải Toán 11 trang 114 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 11 trang 114 Tập 2 trong Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối Toán 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 114.

Luyện tập 5 trang 114 Toán 11 Tập 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

Lời giải:

Luyện tập 5 trang 114 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Gọi M là trung điểm của BC, O là trọng tâm tam giác BCD.

Vì ABCD là hình tứ diện đều nên BCD là tam giác đều.

Mà O là trọng tâm tam giác BCD nên O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Do đó AO ⊥ (BCD).

Xét tam giác đều BCD có: DM là đường trung tuyến (do M là trung điểm của BC) cũng đồng thời là đường cao của tam giác nên DM ⊥ BC.

Do M là trung điểm của BC nên $M C = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2} .$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DMC vuông tại M (do DM ⊥ BC) có:

DC² = DM² + MC²

Do đó $D M = \sqrt{D C^{2} - M C^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Vì O là trọng tâm tam giác BCD nên $O D = \frac{2}{3} D M = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

Do AO ⊥ (BCD) và DO ⊂ (BCD) nên AO ⊥ DO, do đó tam giác ADO vuông tại O.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADO vuông tại O có:

AD² = AO² + DO²

Suy ra $A O = \sqrt{A D^{2} - D O^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{2 a^{2}}{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} .$

Diện tích tam giác BCD đều có đường cao DM là:

$S_{Δ B C D} = \frac{1}{2} . D M . B C = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ (đvdt).

Thể tích của khối tứ diện đều ABCD cạnh a có chiều cao $A O = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ và diện tích đáy $S_{Δ B C D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ là:

$V_{A B C D} = \frac{1}{3} S_{Δ B C D} . A O = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ (đvtt)

Luyện tập 6 trang 114 Toán 11 Tập 2: Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với hai cạnh đáy lần lượt dài 2 dm và 3 dm, chiều cao bằng 4 dm. Tính thể tích của thùng đựng rác.

Lời giải:

Luyện tập 6 trang 114 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều nên ta có hai đáy là hình vuông.

Diện tích đáy lớn là S₁ = 3² = 9 (dm²).

Diện tích đáy bé là S₂ = 2² = 4 (dm²).

Vậy thể tích của thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều có chiều cao bằng 4 dm diện tích đáy hai đáy S₁ = 9 dm², S₂ = 4 dm² là:

$V = \frac{1}{3} h (S_{1} + \sqrt{S_{1} S_{2}} + S_{2}) = \frac{1}{3} .4. (9 + \sqrt{9.4} + 4) = \frac{76}{3}$ (dm³).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác