Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 trong Bài tập cuối chương IV Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 72.

Bài 4.34 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và O cũng là trung điểm của BD.

$V T = \vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M O} + \vec{O A} + \vec{M O} + \vec{O C} = 2 \vec{M O};$

$V P = \vec{M B} + \vec{M D} = \vec{M O} + \vec{O B} + \vec{M O} + \vec{O D} = 2 \vec{M O};$

$\Rightarrow V T = V P$

Bài 4.35 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2;1), B(-2;5) và C(-5;2).

a) Tìm tọa độ của các vecto $\vec{B A}$ và $\vec{B C} .$

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{B A} (4; - 4)$ và $\vec{B C} (- 3; - 3) .$

b) Ta có: $\vec{B A} . \vec{B C}$ = 4.(–3) + (–4).(–3) = –12 + 12 = 0

⇒ BA ⊥ BC

∆ABC vuông tại B.

Diện tích tam giác vuông ABC là:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C$

$= \frac{1}{2} . \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}} . \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

$= \frac{1}{2} .4 \sqrt{2} .3 \sqrt{2} = 12$ (đvdt)

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$\{\begin{cases} x_{G} = \frac{2 + (- 2) + (- 5)}{3} = \frac{- 5}{3} \\ y_{G} = \frac{1 + 5 + 2}{3} = \frac{8}{3} \end{cases}$

$\Rightarrow G (\frac{- 5}{3}; \frac{8}{3})$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G (\frac{- 5}{3}; \frac{8}{3}) .$

d) Để tứ giác BCAD là hình bình hành khi $\vec{D A} = \vec{B C}$

Ta có: $\vec{D A} (2 - x; 1 - y)$ và $\vec{B C} (- 3; - 3)$

Khi đó, ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 2 - x = - 3 \\ 1 - y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 4 \end{cases} \Rightarrow D (5; 4)$ .

Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Bài 4.36 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(3;4), C(-1;-2) và D(6;5)

a) Tìm tọa độ của các vecto $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ .

b) Hãy giải thích tại sao các vecto $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a;1). Tìm a để vecto $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vecto $\vec{A E}$ theo các vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A B} (2; 2)$ và $\vec{C D} (7; 7)$ .

b) Hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng phương vì $\frac{7}{2} = \frac{7}{2}$ .

c) Ta có: $\vec{A C} (- 2; - 4)$ và $\vec{B E} (a - 3; - 3)$

Để hai vecto $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương khi

$\frac{- 2}{a - 3} = \frac{- 4}{- 3} \Leftrightarrow - 4 (a - 3) = 6 \Leftrightarrow a - 3 = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2} .$

Vậy $a = \frac{3}{2}$ thì hai vecto $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương

d) Với $a = \frac{3}{2} \Rightarrow E (\frac{3}{2}; 1) \Rightarrow \vec{A E} (\frac{1}{2}; - 1)$ ,

Ta có: $\vec{A B} (2; 2)$ và $\vec{A C} (- 2; - 4)$

Tồn tại hai số thực u, v thỏa mãn:

$\vec{A E} = u \vec{A B} + v \vec{A C}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{2} = u .2 + v . (- 2) \\ 1 = u .2 + v . (- 4) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 u - 2 v = \frac{1}{2} \\ 2 u - 4 v = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u = 0 \\ v = - \frac{1}{4} \end{cases}$

$\Rightarrow \vec{A E} = 0. \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$

Vậy $\vec{A E} = - \frac{1}{4} \vec{A C}$ .

Bài 4.37 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho vecto $\vec{a} \neq \vec{0} .$ Chứng minh rằng $\frac{1}{|\vec{a}|} . \vec{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ ) là một vecto đơn vị cùng hướng với $\vec{a}$ .

Lời giải:

Nhắc lại kiến thức: $k . \vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0.

Ta có: $k = \frac{1}{|\vec{a}|} > 0 (\vec{a} \neq \vec{0})$

Do đó $\frac{1}{|\vec{a}|} . \vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ hay $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ cùng hướng với $\vec{a} .$

Bài 4.38 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}$ với $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ . Xét một hệ trục Oxy với hệ vecto đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$ . Chứng minh rằng:

a) Vecto $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} . \vec{a}, \vec{u} . \vec{b}) .$

b) $\vec{u} = (\vec{u} . \vec{a}) . \vec{a} + (\vec{u} . \vec{b}) . \vec{b} .$

Lời giải:

a) Vì $\vec{i} = \vec{a} \Rightarrow \vec{a} (1; 0)$ và $\vec{j} = \vec{b} \Rightarrow \vec{b} (0; 1)$

Gọi tọa độ của vecto $\vec{u} (c; d)$

Khi đó, ta có:

$\vec{u} . \vec{a} = 1. c + 0. d = c;$

$\vec{u} . \vec{b} = 0. c + 1. d = d;$

Vì vậy tọa độ của vecto $\vec{u}$ là $(\vec{u} . \vec{a}, \vec{u} . \vec{b}) .$

b) Ta có:

$(\vec{u} . \vec{a}) . \vec{a} + (\vec{u} . \vec{b}) . \vec{b} = c . \vec{a} + d . \vec{b} = c (1; 0) + d . (0; 1) = (c; d) = \vec{u} .$

Bài 4.39 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15⁰E với vận tốc có độ lớn bằng 20km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3km/h.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15 độ E

Trong đó:

$\vec{A B}$ là hướng đông

$\vec{A D}$ là hướng S15⁰E

$\vec{v_{n}}$ là vận tốc dòng nước

$\vec{v_{c n}}$ là vận tốc ca nô

$\vec{v_{r}}$ là vận tốc riêng của ca nô

Xét tam giác ABD, có:

$B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2. A B . A D . c o s \hat{B A D}$ (định lí cosin)

$\Leftrightarrow {\vec{v_{r}}}^{2} = {\vec{v_{n}}}^{2} + {\vec{v_{c n}}}^{2} - 2. |\vec{v_{n}}| . |\vec{v_{c n}}| . c o s 15^{0}$

= 3² + 20² – 2.3.20.cos15⁰

≈ 291,09

⇒ v_r ≈ 17,12

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 17,12 km/h.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương IV Kết nối tri thức hay khác:

Giải Toán 10 trang 71

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác