Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 68.

HĐ2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vecto cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y) .$ Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0};$

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0;$

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{u} = \vec{0} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

Mà $\vec{0}$ vuông góc với mọi vecto nên ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 0$

Ta lại có:

$k (x^{2} + y^{2}) = k (0^{2} + 0^{2}) = 0$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$

Vậy với $\vec{u} = \vec{0}$ công thức đã cho đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{0}$

Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} .cos (\vec{u}, \vec{v})$

$= |k| (x^{2} + y^{2}) . c os 0^{0} = k (x^{2} + y^{2}) .$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ công thức đã cho đúng.

c) Vì k < 0 nên hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0}$

Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} .cos (\vec{u}, \vec{v})$

$= |k| (x^{2} + y^{2}) . c os18 0^{0}$

$= - k (x^{2} + y^{2}) (- 1) = k (x^{2} + y^{2}) .$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0 công thức đã cho đúng.

HĐ3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vecto không cùng phương $\vec{u} (x; y)$ và $\vec{v} (x'; y')$ .

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì $\vec{u} (x; y)$ và $\vec{O A} = \vec{u}$ nên A(x;y)

Vì $\vec{v} (x'; y')$ và $\vec{O B} = \vec{v}$ nên B(x’;y’)

b) Ta có:

$\vec{A B} (x' - x; y' - y) \Rightarrow A B = \sqrt{{(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2}} \Leftrightarrow A B^{2} = {(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2} .$

$\vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \Leftrightarrow O A^{2} = x^{2} + y^{2} .$

$\vec{O B} = (x'; y') \Rightarrow O B = \sqrt{x'^{2} + y'^{2}} \Leftrightarrow O B^{2} = x'^{2} + y'^{2} .$

c) Theo định lí Cô sin, ta có:

$\vec{O A} . \vec{O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2}$

$= \frac{x^{2} + y^{2} + x'^{2} + y'^{2} - {(x' - x)}^{2} - {(y' - y)}^{2}}{2}$

$= \frac{2 x x' + 2 y y'}{2} = x x' + y y'$

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vecto $\vec{u} (0; - 5), \vec{v} (\sqrt{3}; 1)$

Lời giải:

Tích vô hướng của hai vecto $\vec{u} . \vec{v} = 0. \sqrt{3} - 5.1 = - 5.$

Ta lại có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c o s (\vec{u} . \vec{v})$

$\Rightarrow c o s (\vec{u} . \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| . |\vec{v}|} = \frac{- 5}{5.2} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (\vec{u} . \vec{v}) = 120^{0} .$

Vậy $\vec{u} . \vec{v} = - 5$ và góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ bằng 120⁰.

HĐ4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vecto

$\vec{u} (x_{1}; y_{1}), \vec{v} (x_{2}; y_{2}), \vec{w} (x_{3}; y_{3}) .$

a) Tính $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ các vecto $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} .$

b) So sánh $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ .

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{v} + \vec{w} = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3})$

$\Rightarrow \vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} (y_{2} + y_{3})$

$= x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3}$ (1)

Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}, \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ (2)

b) Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} .$

c) Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}; \vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1}$

$= x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} .$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} .$

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác