Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 68.

HĐ2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vecto cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y) .$ Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0};$

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0;$

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{u} = \vec{0} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

Mà $\vec{0}$ vuông góc với mọi vecto nên ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 0$

Ta lại có:

$k (x^{2} + y^{2}) = k (0^{2} + 0^{2}) = 0$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$

Vậy với $\vec{u} = \vec{0}$ công thức đã cho đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{0}$

Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} .cos (\vec{u}, \vec{v})$

$= |k| (x^{2} + y^{2}) . c os 0^{0} = k (x^{2} + y^{2}) .$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ công thức đã cho đúng.

c) Vì k < 0 nên hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0}$

Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} .cos (\vec{u}, \vec{v})$

$= |k| (x^{2} + y^{2}) . c os18 0^{0}$

$= - k (x^{2} + y^{2}) (- 1) = k (x^{2} + y^{2}) .$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0 công thức đã cho đúng.

HĐ3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vecto không cùng phương $\vec{u} (x; y)$ và $\vec{v} (x'; y')$ .

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì $\vec{u} (x; y)$ và $\vec{O A} = \vec{u}$ nên A(x;y)

Vì $\vec{v} (x'; y')$ và $\vec{O B} = \vec{v}$ nên B(x’;y’)

b) Ta có:

$\vec{A B} (x' - x; y' - y) \Rightarrow A B = \sqrt{{(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2}} \Leftrightarrow A B^{2} = {(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2} .$

$\vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \Leftrightarrow O A^{2} = x^{2} + y^{2} .$

$\vec{O B} = (x'; y') \Rightarrow O B = \sqrt{x'^{2} + y'^{2}} \Leftrightarrow O B^{2} = x'^{2} + y'^{2} .$

c) Theo định lí Cô sin, ta có:

$\vec{O A} . \vec{O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2}$

$= \frac{x^{2} + y^{2} + x'^{2} + y'^{2} - {(x' - x)}^{2} - {(y' - y)}^{2}}{2}$

$= \frac{2 x x' + 2 y y'}{2} = x x' + y y'$

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vecto $\vec{u} (0; - 5), \vec{v} (\sqrt{3}; 1)$

Lời giải:

Tích vô hướng của hai vecto $\vec{u} . \vec{v} = 0. \sqrt{3} - 5.1 = - 5.$

Ta lại có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c o s (\vec{u} . \vec{v})$

$\Rightarrow c o s (\vec{u} . \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| . |\vec{v}|} = \frac{- 5}{5.2} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (\vec{u} . \vec{v}) = 120^{0} .$

Vậy $\vec{u} . \vec{v} = - 5$ và góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ bằng 120⁰.

HĐ4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vecto

$\vec{u} (x_{1}; y_{1}), \vec{v} (x_{2}; y_{2}), \vec{w} (x_{3}; y_{3}) .$

a) Tính $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ các vecto $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} .$

b) So sánh $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ .

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{v} + \vec{w} = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3})$

$\Rightarrow \vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} (y_{2} + y_{3})$

$= x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3}$ (1)

Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}, \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ (2)

b) Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} .$

c) Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}; \vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1}$

$= x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} .$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} .$

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác