Giải Toán 10 trang 92 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 10 trang 92 Tập 1 trong Bài 5: Tích của một số với một vectơ Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 92.

Bài 1 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{PQ}$;

B. $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{NP}$;

C. $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{PQ}$;

D. $\overrightarrow{MQ}=-2\overrightarrow{NP}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

MNPQ là hình thang với MN // PQ nên hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ ngược hướng.

Mà MN = 2 PQ nên $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{PQ}$.

Bài 2 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng và AC = $\frac{1}{2}AB$.

Suy ra A, B, C thẳng hàng, hơn nữa C là trung điểm của AB và AC = 3 cm. 

b) Ta có $\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng và AD = $\frac{1}{2}$AB = 3 cm.

Suy ra A, B, D thẳng hàng; D và B nằm khác phía nhau so với A.

Bài 3 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AN}$;

b) $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BA}$.

Lời giải:

a) Vì P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: PN // = $\frac{1}{2}$BC.

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{PN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và PN = $\frac{1}{2}$BC.

Suy ra: $\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Do đó:  $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}$.

Vậy $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AN}$.

b) M và P lần lượt là trung điểm của BC và AB nên MP là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: MP // AC VÀ MP = $\frac{1}{2}$ AC.

Lại có hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{CA}$ cùng hướng và MP = $\frac{1}{2}$CA nên $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$ hay $\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{MP}$.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$.

Vậy $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BA}$.

Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$. Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$ theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

Lời giải:

+ Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\\ =-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\end{array}$ 

+ BD = DE = EC và D, E thuộc cạnh BC nên BD = $\frac{1}{3}$BC.

Mà $\overrightarrow{BD}$  và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.

Suy ra: $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$.

Vậy $\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$.

+ Hai vectơ $\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và BE = $\frac{2}{3}$BC nên $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.

Suy ra: $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\left(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$.

Vậy $\overrightarrow{BE}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$.

+ Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{a}+\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right) \\ =\left(1-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b} \\ =\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

Vậy $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$.

+ Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{a}+\left(-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\right) \\ =\left(1-\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b} \\ =\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

Vậy $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$.

Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$;

b) $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$.

Lời giải:

a) Ta có M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$.

Tương tự N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN\text{}}$.

Lại có G là trung điểm của MN nên $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$.

Khi đó: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2\left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}\right)=\overrightarrow{0}$

Ta có:

$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$

$=\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GD}\right)$

$=4\overrightarrow{EG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)$

=  $4\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{0}$

$=4\overrightarrow{EG}$.

Vậy $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$.

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$.

Thay vào câu a) ta có: $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{EG}$

Vậy $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$.

c) Theo câu b ta có: $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EG}$ cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.

Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.

Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.

Vì EA = 4 EG nên AG = $\frac{3}{4}$AE.

Hai vectơ $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AE}$ cùng hướng.

Do đó: $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$.

Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{CG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

Lời giải:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $BG=\frac{2}{3}BO$.

Mà BO = $\frac{1}{2}$BD nên $BG=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BD=\frac{1}{3}BD$.

Hai vectơ $\overrightarrow{BG},\overrightarrow{BD}$ cùng hướng và BG = $\frac{1}{3}$BD.

Nên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$.

Ta có: $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

$$\begin{gathered} =\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right) \\ =\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\left(1-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} \\ =\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} \end{gathered}$$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

Do đó: $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Ta có: $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=\left(-\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{AG}$

$=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AG}$

$=-\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right)$

$=\left(-1+\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{a}+\left(-1+\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{b}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$.

Vậy $\overrightarrow{CG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$.

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

a) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DH},\overrightarrow{HE}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Lời giải:

Vì $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và $DB=\frac{1}{3}BC$.

$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng và AE = $\frac{1}{3}AC$.

$\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AB}$ cùng hướng và $AH=\frac{2}{3}AB$.

a) + Ta có

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{DB}\right)$

Mà $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.

Do đó:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}\right)-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Suy ra: $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có:

$\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AH}=\left(-\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AH}$

Mà $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó:

$\overrightarrow{DH}=-\left(\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\left(-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\left(\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

 

$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có:

$\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AE}$

$=\left(-\overrightarrow{AH}\right)+\overrightarrow{AE}$

Mà $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

Do đó: 

$\overrightarrow{HE}=\left(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

b) Theo câu a, ta có: $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó: $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{HE}$.

Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ hay khác:

• Giải Toán 10 trang 88 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 89 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 90 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 91 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 3: Khái niệm vectơ

• Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

• Bài tập cuối chương 4

• Chủ đề 1: Đo góc

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---