Cho a, b là hai số dương khác nhau thoả mãn điều kiện a - b = (√1-b^2) - (√1-a^2). Chứng minh rằng a^2 + b^2 = 1

Trang trước Trang sau

Bài 3.14 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho a, b là hai số dương khác nhau thoả mãn điều kiện $a - b = \sqrt{1 - b^{2}} - \sqrt{1 - a^{2}}$ . Chứng minh rằng a² + b² = 1

Lời giải:

Ta có:

$a - b = \sqrt{1 - b^{2}} - \sqrt{1 - a^{2}}$

$a + \sqrt{1 - a^{2}} = b + \sqrt{1 - b^{2}}$

${(a + \sqrt{1 - a^{2}})}^{2} = {(b + \sqrt{1 - b^{2}})}^{2}$

$a^{2} + 2. a . \sqrt{1 - a^{2}} + {(\sqrt{1 - a^{2}})}^{2} = b^{2} + 2. b . \sqrt{1 - b^{2}} + {(\sqrt{1 - b^{2}})}^{2}$

$a^{2} + 2 a \sqrt{1 - a^{2}} + 1 - a^{2} = b^{2} + 2 b \sqrt{1 - b^{2}} + 1 - b^{2}$

$2 a \sqrt{1 - a^{2}} = 2 b \sqrt{1 - b^{2}}$

$a \sqrt{1 - a^{2}} = b \sqrt{1 - b^{2}}$

${(a \sqrt{1 - a^{2}})}^{2} = {(b \sqrt{1 - b^{2}})}^{2}$

$a^{2} (1 - a^{2}) = b^{2} (1 - b^{2})$

$a^{2} - a^{4} = b^{2} - b^{4}$

$a^{4} - b^{4} - (a^{2} - b^{2}) = 0$

$(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) - (a^{2} - b^{2}) = 0$

$(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2} - 1) = 0$

Theo đề bài, a và b là hai số khác nhau nên a²– b²≠ 0, nên để $(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2} - 1) = 0$ thì a²+ b²– 1 = 0 hay a²+ b²= 1. (đpcm)

Lời giải SBT Toán 9 Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác