Cho phương trình x^2 – 3x – 40 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, không giải phương trình

Trang trước Trang sau

Bài 5 trang 15 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² – 3x – 40 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình, không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1}^{2} x_{2} - x_{1} x_{2}^{2};$

b) $B = 3 x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{1}^{2} - 2 x_{2}^{2};$

c) $C = \frac{x_{2}}{x_{1} + 3} + \frac{x_{1}}{x_{2} + 3} .$

Lời giải:

Xét phương trình x² – 3x – 40 = 0.

Ta có ∆ = (–3)² – 4.1.(–40) = 9 + 160 = 169 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 3}{1} = 3; P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 40}{1} = - 40.$

a) $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1}^{2} x_{2} - x_{1} x_{2}^{2}$

$= x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{2} - x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})$

$= {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{2} x_{2} - x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})$

Thay x₁ + x₂ = 3 và x₁x₂ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được:

A = 3² ‒ 2.(‒40) ‒ (‒40).3

= 9 + 80 + 120 = 209.

b) $B = 3 x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{1}^{2} - 2 x_{2}^{2}$

$= 3 (x_{1} + x_{2}) - 2 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})$

$= 3 (x_{1} + x_{2}) - 2 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{2})$

$= 3 (x_{1} + x_{2}) - 2 [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}]$

Thay x₁ + x₂ = 3 và x₁x₂ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được:

B = 3.3 ‒ 2[3² ‒ 2.(‒40)]

= 9 ‒ 2(9 + 80) = 9 – 2.89

= 9 ‒ 178 = ‒ 169.

c) $C = \frac{x_{2}}{x_{1} + 3} + \frac{x_{1}}{x_{2} + 3} = \frac{x_{2} (x_{2} + 3) + x_{1} (x_{1} + 3)}{(x_{1} + 3) (x_{2} + 3)}$

$= \frac{x_{2}^{2} + 3 x_{2} + x_{1}^{2} + 3 x_{1}}{x_{1} x_{2} + 3 x_{1} + 3 x_{2} + 9}$

$= \frac{x_{2}^{2} + x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{2} + 3 (x_{2} + x_{1})}{x_{1} x_{2} + 3 (x_{1} + x_{2}) + 9}$

$= \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 3 (x_{2} + x_{1})}{x_{1} x_{2} + 3 (x_{1} + x_{2}) + 9}$

Thay x₁ + x₂ = 3 và x₁x₂ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được

$C = \frac{3^{2} - 2 \cdot (- 40) + 3 \cdot 3}{- 40 + 3 \cdot 3 + 9}$

$= \frac{9 + 80 + 9}{- 40 + 9 + 9} = \frac{98}{- 22} = - \frac{49}{11} .$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Chân trời sáng tạo khác