Ở Hình 9 biết ABCDEF là lục giác đều, chứng minh rằng lục giác MNPQRS cũng là lục giác đều

Trang trước Trang sau

Bài 8 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Ở Hình 9 biết ABCDEF là lục giác đều, chứng minh rằng lục giác MNPQRS cũng là lục giác đều.

Lời giải:

Lục giác ABCDEF là lục giác đều nên AB = BC = CD = DE = EF = FA và $\hat{A B C} = \hat{B C D} = \hat{C D E} = \hat{D E A} = \hat{E A F} = \hat{F A B} .$

Ta cũng có tổng 6 góc của lục giác đều ABCDEF bằng tổng các góc của hai tứ giác ABCD và AFED, tức là bằng 2.360° = 720°.

Do đó: $\hat{A B C} = \hat{B C D} = \hat{C D E} = \hat{D E A} = \hat{E A F} = \hat{F A B} = \frac{720 °}{6} = 120 ° .$

Xét ∆AFB cân tại A (do AB = AF) ta có:

$\hat{A B F} = \hat{A F B} = \frac{180 ° - \hat{F A B}}{2} = \frac{180 ° - 120 °}{2} = 30 ° .$

Hay $\hat{A B S} = \hat{A F R} = 30 ° .$

Tương tự, đối với ∆ABC cân tại B ta có: $\hat{B A C} = \hat{B C A} = 30 °$ hay $\hat{B A S} = 36 ° .$

Do đó ta có $\hat{A B S} = \hat{B A S} = 30 ° .$ Nên ∆ABS cân tại S.

Suy ra $\hat{A S B} = 180 ° - 2 \hat{B A S} = 180 ° - 2 \cdot 30 ° = 120 ° .$

Khi đó, $\hat{R S M} = \hat{A S B} = 120 °$ (đối đỉnh).

Chứng minh tương tự, ta được:

$\hat{R S M} = \hat{S M N} = \hat{M N P} = \hat{N P Q} = \hat{P Q R} = \hat{Q R S} = 120 ° . (1)$

Ta có: $\hat{B S A} + \hat{B S M} = 180 °$ (kề bù)

Suy ra $\hat{B S M} = 180 ° - \hat{B S A} = 180 ° - 120 ° = 60 ° .$

Ta cũng có: $\hat{B M S} = 180 ° - \hat{B M C} = 180 ° - 120 ° = 60 ° .$

Do đó ∆BSM là tam giác cân, lại có $\hat{B S M} = 60 °$ nên ∆BSM là tam giác đều.

Suy ra SB = SM = BM.

Chứng minh tương tự ta có ∆SAR là tam giác đều nên SA = SR = AR.

Do ∆ABS cân tại S nên SA = SB.

Khi đó, RS = SM.

Chứng minh tương tự, ta được:

RS = SM = MN = NP = PQ = QR. (2)

Từ (1) và (2) suy ra lục giác MNPQRS là lục giác đều.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác