Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm M nằm trong ngũ giác. Gọi A’, B’, C’, D’, E’ lần lượt là các điểm

Trang trước Trang sau

Bài 6 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm M nằm trong ngũ giác. Gọi A’, B’, C’, D’, E’ lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD, ME sao cho $\frac{M A^{'}}{M A} = \frac{M B^{'}}{M B} = \frac{1}{3}, \frac{C C^{'}}{M C} = \frac{D D^{'}}{M D} = \frac{2}{3}, \frac{M E^{'}}{E^{'} E} = \frac{1}{2} .$ Chứng minh ngũ giác A’B’C’D’E’ là ngũ giác đều.

Lời giải:

Từ $\frac{M A^{'}}{M A} = \frac{M B^{'}}{M B} = \frac{1}{3}, \frac{C C^{'}}{M C} = \frac{D D^{'}}{M D} = \frac{2}{3}, \frac{M E^{'}}{E^{'} E} = \frac{1}{2}$ suy ra:

$\frac{M A^{'}}{M A} = \frac{M B^{'}}{M B} = \frac{M C^{'}}{M C} = \frac{M D^{'}}{M D} = \frac{M E^{'}}{M E} = \frac{1}{3} . (1)$

Do đó: A’B’ // AB, B’C’ // BC, C’D’ // CD, D’E’ // DE, E’A’ // EA (định lí Thalès đảo).

Do A’B’ // AB nên $\hat{M A^{'} B^{'}} = \hat{M A B}$ (đồng vị);

Do E’A’ // EA nên $\hat{M A^{'} E^{'}} = \hat{M A E}$ (đồng vị).

Suy ra $\hat{M A^{'} B^{'}} + \hat{M A^{'} E^{'}} = \hat{M A B} + \hat{M A E}$

Hay $\hat{B^{'} A^{'} E^{'}} = \hat{B A E} .$

Chứng minh tương tự, ta được các góc A’, B’, C’, D’, E’ của ngũ giác A’B’C’D’E’ tương ứng bằng các góc A, B, C, D, E của ngũ giác đều ABCDE.

Mà ABCDE là ngũ giác đều nên góc A, B, C, D, E của ngũ giác bằng nhau.

Do đó các góc của ngũ giác A’B’C’D’E’ bằng nhau. (2)

Mặt khác, từ (1) ta cũng chứng minh được:

$A^{'} B^{'} = \frac{A B}{3};$ $B^{'} C^{'} = \frac{B C}{3};$ $C^{'} D^{'} = \frac{C D}{3};$ $D^{'} E^{'} = \frac{D E}{3};$ $E^{'} A^{'} = \frac{E A}{3} .$

Mà ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA.

Do đó: A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’E’ = E’A’. (3)

Từ (2) và (3) suy ra ngũ giác A’B’C’D’E’ là ngũ giác đều.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác