Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật

Trang trước Trang sau

Bài 10 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABEF, BCIJ và CAGH sao cho AF = BJ = CH = x. Tìm hệ thức liên hệ giữa a2 và x2 để hình lục giác EFGHIJ là lục giác đều.

Lời giải:

Gọi P là trung điểm của BC và Q là giao điểm của các đường thẳng AP và FG.

Xét ∆ABC đều có AP là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác của tam giác.

Do đó: $\hat{B A P} = \hat{P A C} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = \frac{1}{2} \cdot 60 ° = 30 ° .$

Xét ∆AFG cân tại A (do AF = AG = x) nên đường trung tuyến AQ đồng thời là đường phân giác của tam giác. Do đó $\hat{F A G} = 2 \hat{F A Q} .$

Lại có: $\hat{F A Q} + \hat{F A B} + \hat{B A P} = 180 °$

Nên $\hat{F A Q} = 180 ° - \hat{F A B} - \hat{B A P} = 180 ° - 90 ° - 30 ° = 60 ° .$

Suy ra $\hat{F A G} = 2 \hat{F A Q} = 2 \cdot 60 ° = 120 ° .$

Kẻ GN vuông góc với FA (N thuộc FA).

Tam giác FQA vuông tại Q có $\hat{F A Q} = 60 °$ và FA = x nên ta có:

$F Q = F A \cdot \sin \hat{F A Q} = \frac{x \sqrt{3}}{2},$ do đó $F G = 2 F Q = x \sqrt{3} .$

⦁ Do ABEF, BCIJ và CAGH là các hình chữ nhật nên ta có: AB = EF, BC = IJ, CA = GH, mà AB = BC = CA (do ∆ABC đều) nên nếu EFGHIJ là lục giác đều thì FG = GH = AC = a, do đó $a = x \sqrt{3}$ hay a² = 3x².

Ngược lại, nếu a² = 3x² thì FG = a và các cạnh của lục giác EFGHIJ bằng nhau. (1)

⦁ Ta có $\hat{A F Q} + \hat{F A Q} = 90 °$ (do ∆AFQ vuông tại Q) nên:

$\hat{A F Q} = 90 ° - \hat{F A Q} = 90 ° - 60 ° = 30 ° .$

Suy ra $\hat{E F Q} = \hat{E F A} + \hat{A F Q} = 90 ° + 30 ° = 120 ° .$

Tương tự, ta chứng minh được các góc của lục giác EFGHIJ đều bằng 120° nên lục giác EFGHIJ là lục giác đều.

Vậy hệ thức liên hệ giữa a² và x² để lục giác EFGHIJ là lục giác đều là a² = 3x².

Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác