Cho hình bình hành ABCD với góc A tù. Dựng bên ngoài hình bình hành đó các tam giác đều ABE và DAF

Trang trước Trang sau

Bài 3.14 trang 37 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD với góc A tù. Dựng bên ngoài hình bình hành đó các tam giác đều ABE và DAF. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều (Gợi ý: Chứng minh các tam giác AEF, DCF, BEC bằng nhau).

Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Gọi $\hat{B A D} = α$

Vì AB // CD nên ta có $\hat{B A D} + \hat{A D C} = 180 °$

Suy ra $\hat{A D C} = 180 ° - \hat{B A D} = 180 ° - α$

$\hat{C D F} = \hat{A D C} + \hat{A D F} = 180 ° - α + 60 ° = 240 ° - α$ (do ∆AFD nên $\hat{A D F} = 60 °$ ) (1)

• Ta có: $\hat{E A F} + \hat{F A D} + \hat{D A B} + \hat{B A E} = 360 °$

Suy ra $\hat{E A F} = 360 ° - \hat{F A D} - \hat{D A B} - \hat{B A E}$

Mà $\hat{F A D} = \hat{B A E} = 60 °$ (do ∆AFD và ∆ABE đều)

Suy ra $\hat{E A F} = 360 ° - 60 ° - 60 ° - α = 240 ° - α (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{C D F} = \hat{E A F} .$

Xét ∆AEF và ∆DCF có

AF = DF ( vì ∆ADF đều);

$\hat{C D F} = \hat{E A F}$ (chứng minh trên);

AE = DC (vì cùng bằng AB)

Do đó: ∆AEF = ∆DCF (c.g.c)

Suy ra EF = CF (*)

• $\hat{C B E} = \hat{A B C} + \hat{A B E} = \hat{A B C} + 60 °$

Mà ABCD là hình bình hành nên $\hat{A B C} = \hat{A D C} = 180 ° - α$

Suy ra $\hat{C B E} = 180 ° - α + 60 ° = 240 ° - α$ , mà $\hat{C D F} = 240 ° - α$ (chứng minh trên)

Suy ra $\hat{C B E} = \hat{C D F} .$

Xét ΔBCE và ΔDFC có:

BE = CD (vì cùng bằng AB);

$\hat{C B E} = \hat{C D F}$ (chứng minh trên);

BC = DF (vì cùng bằng AD)

Do đó ∆BCE = ∆DFC (c.g.c)

Suy ra CE = CF (**)

Từ (*) và (**) suy ra: EF = CF = CE

Vậy ∆ECF là tam giác đều.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình bình hành hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác