Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và kẻ đường cao AH

Trang trước Trang sau

Bài 8 trang 69 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và kẻ đường cao AH. Tia phân giác của $\hat{B}$ cắt AC tại E và cắt AH tại F. Chứng minh rằng:

a) AB . HF = AE . HB.

b) AE = AF.

c) AE² = EC . FH.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và kẻ đường cao AH

a) Vì BE là tia phân giác của $\hat{A B C}$ nên $\hat{A B E} = \hat{C B E}$ .

Xét ∆ABE vuông tại A và ∆HBF vuông tại H có

$\hat{A B E} = \hat{H B F}$ ( $\hat{A B E} = \hat{C B E}$ )

Do đó ∆ABE ᔕ ∆HBF (g.g)

Suy ra $\frac{A B}{H B} = \frac{A E}{H F}$ . Do đó AB . HF = AE . HB (đpcm).

b) Ta có ∆ABE ᔕ ∆HBF.

Suy ra $\hat{A E B} = \hat{H F B}$ hay $\hat{A E F} = \hat{H F B}$ (các góc tương ứng).

Mà $\hat{A F E} = \hat{H F B}$ (đối đỉnh) nên $\hat{A E F} = \hat{A F E}$ . Suy ra ∆AEF cân tại A.

Do đó AE = AF.

c) Xét ∆ABC có BE là tia phân giác của $\hat{B}$ , suy ra $\frac{A B}{B C} = \frac{A E}{E C}$ (1)

Xét ∆ABH có BF là tia phân giác của $\hat{B}$ , suy ra $\frac{F H}{A F} = \frac{B H}{A B}$ (2)

Xét ∆ABH vuông tại H và ∆ABC vuông tại A có $\hat{B}$ chung.

Do đó ∆ABH ᔕ ∆CBA, suy ra $\frac{A B}{B C} = \frac{B H}{A B}$ (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra $\frac{A E}{E C} = \frac{F H}{A F}$ .

Do đó AE . AF = EC . FH.

Mà AE = AF, suy ra AE² = EC . FH (đpcm).

Lời giải SBT Toán 8 Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Chân trời sáng tạo khác