Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB Gọi M, N lần lượt

Bài 43 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.

a) Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành.

b) Gọi P là giao điểm của AM và BN, Q là giao điểm của CN và DM. Chứng minh tứ giác PMQN là hình chữ nhật.

c*) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác PMQN là hình vuông.

d) Tính diện tích của tứ giác PMQN, biết AB = 2 cm, $\hat{M A D} = 30 °$ .

Lời giải:

Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB Gọi M, N lần lượt

a) Do ABCD là hình bình hành nên BC // AD và BC = AD

Mà M ∈ BC, N ∈ AD nên MB // ND

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD nên $M B = M C = \frac{1}{2} B C; N A = N D = \frac{1}{2} A D$

Do đó MB = MC = NA = ND.

Tứ giác MBND có MB // ND và MB = ND nên là hình bình hành.

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được MANC là hình bình hành.

Do MBND, MANC đều là hình bình hành nên PN // MQ, PM // NQ (do P là giao điểm của AM và BN, Q là giao điểm của CN và DM).

Suy ra tứ giác PMQN là hình bình hành.

Xét ∆ABN và ∆MNB có:

AN = BM, $\hat{A N B} = \hat{M B N}$ (hai góc so le trong do BM // AN), cạnh BN chung

Do đó ∆ABN = ∆MNB (c.g.c). Suy ra AB = MN (hai cạnh tương ứng0

Tứ giác ABMN có AB = BM = MN = AN nên ABMN là hình thoi.

Suy ra AM ⊥ BN, do đó $\hat{M P N} = 90 °$ .

Hình bình hành PMQN có $\hat{M P N} = 90 °$ nên PMQN là hình chữ nhật.

c*) Để hình chữ nhật PMQN là hình vuông thì PM = PN.

Mà ABMN là hình thoi nên ABMN cũng là hình bình hành.

Suy ra AM, BN cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường.

Mà PM = PN, suy ra AM = BN.

Hình bình hành ABMN có AM = BN nên ABMN là hình chữ nhật.

Suy ra $\hat{A B M} = 90 °$ hay $\hat{A B C} = 90 °$ .

Hình bình hành ABCD có $\hat{A B C} = 90 °$ nên ABCD là hình chữ nhật.

Dễ thấy, nếu hình bình hành ABCD là hình chữ nhật và BC = 2AB thì PMQN là hình vuông.

Vậy điều kiện của hình bình hành ABCD để PMQN là hình vuông là hình bình hành ABCD là hình chữ nhật có BC = 2AB.

d) Ta có BM = AB = 2 cm.

Do ABMN là hình thoi nên AM là tia phân giác của $\hat{B A N}$ .

Suy ra $\hat{B A N} = 2 \hat{M A D} = 60 °$ .

Tam giác ABN có AB = AN và $\hat{B A N} = 60 °$ nên tam giác ABN đều.

Suy ra BN = AN = AB = 2 cm.

Do P là trung điểm của BN nên $B P = N P = \frac{B N}{2} = 1 cm$ .

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác BMP vuông tại P, ta có: BM² = BP² + MP².

Suy ra MP² = BM² ‒ BP² = 2² ‒ 1² = 3. Do đó $M P = \sqrt{3} cm$ .

Do PMQN là hình chữ nhật nên diện tích của PMQN là:

$M P . N P = \sqrt{3} .1 = \sqrt{3} ({cm}^{2}) .$

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác