Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G

Bài 34 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi F, H lần lượt là trung điểm của BG, CG.

a) Tứ giác EFHD là hình gì? Vì sao?

b*) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác EFHD là hình vuông.

Lời giải:

a) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên $D G = \frac{1}{2} B G$ , $E G = \frac{1}{2} C G$ .

Mà F, H lần lượt là trung điểm của BG, CG nên $B F = F G = \frac{1}{2} B G$ , $C H = H G = \frac{1}{2} C G$

Do đó DG = BF = FG, EG = CH = HG.

Suy ra, G là trung điểm của FD, G là trung điểm của EH.

Tứ giác EFHD có hai đường chéo EH và DF cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên EFHD là hình bình hành.

b*) Để hình bình hành EFHD là hình vuông thì EH = DF và EH ⊥ DF.

Suy ra BG = CG, EG = DG và BD ⊥ CE.

Xét ∆BEG và ∆CDG có:

BG = CG, $\hat{E G B} = \hat{D G C}$ (đối đỉnh), EG = DG

Do đó ∆BEG = ∆CDG (c.g.c). Suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng) (1)

Mà BD, CE là các đường trung tuyến của ∆ABC nên E là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC

Suy ra AB = 2BE, AC = 2CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC

Dễ thấy, nếu AB = AC và BD ⊥ CE thì tứ giác EFHD là hình vuông.

Vậy tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD, CE vuông góc với nhau thì tứ giác EFHD là hình vuông.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác