Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau

Trang trước Trang sau

Bài 32 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc A và B cắt nhau tại E. Tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại F. Gọi G là giao điểm của AE và DF, H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh:

a) GH // CD;

b) Tứ giác GFHE là hình vuông.

Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau

a) Do ABCD là hình chữ nhật nên $\hat{D A B} = \hat{A B C} = \hat{B C D} = \hat{C D A} = 90 °$

Mà AE, BE, CF, DF lần lượt là các tia phân giác của các $\hat{B A D}, \hat{A B C}, \hat{B C D}, \hat{A D C}$

Suy ra $\hat{B A D}, \hat{A B C}, \hat{B C D}, \hat{A D C} \hat{D A E} = \hat{E A B} = \hat{A B E} = \hat{E B C} = \hat{B C F} = \hat{F C D} = \hat{C D F} = \hat{F D A} = \frac{90 °}{2} = 45 ° .$

Xét ∆ADG có: $\hat{A D G} + \hat{A G D} + \hat{G A D} = 180 °$

Suy ra $\hat{A G D} = 180 ° - (\hat{A D G} + \hat{G A D}) = 180 ° - (45 ° + 45 °) = 90 °$

Do đó ∆ADG vuông cân tại G

Chứng minh tương tự các tam giác EAB, FCD, HBC đều là tam giác vuông cân.

Xét ∆GAD và ∆HBC có:

$\hat{G A D} = \hat{G D A} = \hat{H B C} = \hat{H C B} = 45 °$ , cạnh AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật)

Do đó ∆GAD = ∆HBC (g.c.g).

Suy ra GD = HC (hai cạnh tương ứng).

Mà FD = FC, suy ra FG = FH.

∆GFH có: $\hat{G F H} = 90 °$ và FG = FH

Do đó, tam giác FGH vuông cân tại F. Suy ra $\hat{F G H} = 45 °$ .

Ta có: $\hat{F G H} = \hat{C D F} = 45 °$ và $\hat{F G H}, \hat{C D F}$ nằm ở vị trí đồng vị nên GH // CD.

b) Ta có $\hat{E G F} = \hat{A G D} = 90 °$ (hai góc đối đỉnh).

Tứ giác GFHE có $\hat{E G F} = \hat{G F H} = \hat{H E G} = 90 °$ nên GFHE là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật GFHE có FG = FH nên GFHE là hình vuông.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác