Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Lấy điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD

Trang trước Trang sau

Bài 30 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Lấy điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng DC lần lượt tại M và N. Các đường thẳng NA, MB cắt nhau tại K.

a) Chứng minh: ∆KAB ᔕ ∆KNM; ∆CEM ᔕ ∆DAM; ∆NFD ᔕ ∆NBC.

b) So sánh CM.DN và AB².

c) Các điểm E, F lấy ở vị trí nào trên các cạnh BC, AD thì MN có độ dài nhỏ nhất?

Lời giải:

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Lấy điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD

a) Do ABCD là hình vuông nên AB // CD, AD // BC.

M, N ∈ CD nên AB // MN.

E ∈ BC, F ∈ AD nên CE // AD, DF // BC.

• Vì AB // MN nên ∆KAB ᔕ ∆KNM;

• Vì CE // AD nên ∆CEM ᔕ ∆DAM;

• Vì DF // BC nên ∆NFD ᔕ ∆NBC.

b) Vì AB // CM nên ∆CEM ᔕ ∆BEA, do đó $\frac{C M}{B A} = \frac{C E}{B E}$ (1).

Vì AB // ND nên ∆NDF ᔕ ∆BAF, do đó $\frac{D F}{A F} = \frac{N D}{B A}$ hay $\frac{A F}{D F} = \frac{B A}{D N}$ (2).

Từ (1), (2) và CE = AF, BE = DF, ta có $\frac{C M}{B A} = \frac{C E}{B E} = \frac{A F}{D F} = \frac{B A}{D N} .$

Hay $\frac{C M}{B A} = \frac{B A}{D N}$ nên CM.DN = AB².

c) Ta có (CM ‒ DN)² ≥ 0

Suy ra (CM² + 2.CM.DN + DN² ‒ 4.CM.DN) ≥ 0

Do đó (CM + DN)² ≥ 4CM.DN.

Hay $C M + D N \geq 2 \sqrt{C M \cdot D N} = 2 \sqrt{A B^{2}} = 2 A B$

Do đó MN = MC + CD + DN ≥ 3AB (vì AB = CD)

Dấu "=" xảy ra khi CM = DN = AB = a.

Khi đó, $\frac{C M}{B A} = \frac{C E}{B E} = 1$ nên E là trung điểm của BC. Tương tự, lúc này F là trung điểm của AD.

Vậy MN có độ dài nhỏ nhất bằng 3AB khi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác