Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

Trang trước Trang sau

Bài 20* trang 66 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: $M N \leq \frac{A B + D C}{2}$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải:

Lấy I là trung điểm của BD.

Xét ∆ABD có M, I lần lượt là trung điểm của AD, BD nên MI là đường trung bình của ∆ABD

Suy ra MI // AB và $M I = \frac{A B}{2} .$

Xét ∆BDC có N, I lần lượt là trung điểm của BC, BD nên NI là đường trung bình của ∆BDC

Suy ra NI // CD và $N I = \frac{C D}{2} .$

Do đó $M I + N I = \frac{A B + C D}{2}$ (1).

• Nếu I không thuộc MN thì MNI là tam giác nên ta có MN < MI + NI (bất đẳng thức tam giác).

• Nếu I thuộc MN ta có MN = MI + NI.

Tức là, ta luôn có MN ≤ MI + NI (2).

Từ (1), (2) suy ra $M N \leq \frac{A B + C D}{2} .$

Dấu đẳng thức xảy ra khi I thuộc MN, khi đó AB // MI // CD.

Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi AB // CD.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 3: Đường trung bình của tam giác hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác