Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và G là trọng tâm

Bài 1 trang 60 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và G là trọng tâm. Chứng minh:

a) S_AMB = S_AMC;

b) S_ABG = 2S_BMG;

c) S_GAB = S_GBC = S_GAC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và G là trọng tâm

a) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên BM = CM.

Ta có : $S_{AMB} = \frac{1}{2} . AH.BM$ và $S_{AMC} = \frac{1}{2} . AH.MC$

Hai tam giác AMB và AMC có cùng đường cao AH và có cạnh đáy bằng nhau.

Suy ra S_AMB = S_AMC.

Vậy S_AMB = S_AMC.

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABM.

Ta có: $S_{ABG} = \frac{1}{2} . BK.AG$ và $S_{BMG} = \frac{1}{2} . BK.GM$

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{G M}{G A} = \frac{1}{2}$ hay AG = 2GM.

Hai tam giác ABG và BMG có cùng đường cao BK và có cạnh đáy AG = 2GM.

Suy ra S_ABG = 2S_BMG.

Vậy S_ABG = 2S_BMG.

c) Ta có: S_AMB = S_AMC (chứng minh câu a) và S_AMB + S_AMC = S_ABC

Nên $S_{AMB} = S_{AMC} = \frac{1}{2} S_{ACB}$

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$ AM.

Lại có: $S_{GAB} = \frac{1}{2} . BK.AG$ và $S_{AMB} = \frac{1}{2} . BK.AM$

Suy ra

$S_{G A B} = \frac{1}{2} . BK. \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} S_{A B M} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} S_{A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C}$

Chứng minh tương tự ta có $S_{G A C} = \frac{2}{3} S_{A C M} = \frac{1}{3} S_{A B C}$

Ta có S_GAB + S_GAC + S_GBC = S_ABC

Mà $S_{A B G} = \frac{1}{3} S_{A B C}$ ; $S_{A C G} = \frac{1}{3} S_{A B C}$

Suy ra $S_{B C G} = \frac{1}{3} S_{A B C}$

Do đó $S_{G A B} = S_{G B C} = S_{G A C} (= \frac{1}{3} S_{A B C})$

Vậy S_GAB = S_GBC = S_GAC.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

Giải bài tập lớp 7 Chân trời sáng tạo khác