Giải SBT Toán 7 trang 71 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Với Giải sách bài tập Toán 7 trang 71 Tập 2 trong Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác SBT Toán 7 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 7 trang 71.

Bài 15 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là tia phân giác của $\hat{B A D}$ (D ∈ BC). Chứng minh $\hat{A D B} < \hat{A D C}$ .

Lời giải:

Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là tia phân giác của góc BAD (D thuộc BC). Chứng minh góc ADB < góc ADC

Xét tam giác ABC có AB < AC (giả thiết)

Suy ra $\hat{C} < \hat{B}$ (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên ${\hat{A}}_{1} = {\hat{A}}_{2}$ .

Xét ∆ABD có: ${\hat{A}}_{1} + \hat{B} + \hat{A D B} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\hat{A D B} = 180 ° - {\hat{A}}_{1} - \hat{B}$ (1)

Xét ∆ACD có: ${\hat{A}}_{2} + \hat{C} + \hat{A D C} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\hat{A D C} = 180 ° - {\hat{A}}_{2} - \hat{C}$ (2)

Mà ${\hat{A}}_{1} = {\hat{A}}_{2}$ (chứng minh trên) và $\hat{B} > \hat{C}$ (chứng minh trên) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\hat{A D B} < \hat{A D C}$

Vậy $\hat{A D B} < \hat{A D C}$ .

Bài 16 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 110 °$ và $\hat{B} = \hat{C}$ . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho $\hat{A D C} = 105 °$ . Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Chứng minh:

a) AE < CE;

b) EC < BC < BE.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có góc A = 110 độ và góc B = góc C. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho góc ADC = 105 độ

•Xét ∆ACB có: $\hat{B A C} + \hat{B C A} + \hat{B} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{B A C} = 110 °,$ $\hat{B} = \hat{A C B}$ (giả thiết)

Suy ra $\hat{B} = \hat{A C B} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} = \frac{180 ° - 110 °}{2} = 35 °$ .

•Ta có $\hat{B A C} + \hat{C A E} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\hat{C A E} = 180 ° - \hat{B A C} = 180 ° - 110 ° = 70 °$ .

• Do AD // EC (giả thiết) nên $\hat{A D C} + \hat{E C D} = 180^{o}$ (hai góc trong cùng phía).

Suy ra $\hat{E C D} = 180^{o} - \hat{A D C} = 180^{o} - 105^{o} = 75^{o} .$

Lại có $\hat{A C B} + \hat{A C E} = \hat{E C D}$ (hai góc kề nhau)

Do đó $\hat{A C E} = \hat{E C D} - \hat{A C B} = 75 ° - 35^{o} = 40 ° .$

• Trong ∆ACE có: $\hat{A C E} < \hat{C A E}$ (do 40° < 70°)

Do đó AE < CE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AE < CE.

b) Xét ∆EBC có: $\hat{E} + \hat{B C E} + \hat{B} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{B C E} = 75 °, \hat{B} = 35 °$

Suy ra $\hat{E} = 180 ° - \hat{B} - \hat{B C E} = 180 ° - 35 ° - 75 ° = 70 °$

Trong tam giác BCE có: $\hat{B} < \hat{E} < \hat{B C E}$ (do 35° < 70° < 75°).

Nên EC < BC < BE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy EC < BC < BE.

Bài 17 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh AD nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh AD nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC

Xét ∆ABD có: AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) (1)

Xét ∆ACD có AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:

AD + AD < AB + BD + AC + DC

2AD < AB + AC + (BD + DC)

2AD < AB +AC +BC

Suy ra: $A D < \frac{A B + A C + B C}{2}$

Mà $\frac{A B + A C + B C}{2}$ là chu vi của tam giác ABC.

Vậy AD luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Bài 18 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Chứng minh rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$ chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.

Lời giải:

Giả sử độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c với a ≥ b ≥ c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có a < b + c.

Suy ra a + a < a + b + c.

Hay $a < \frac{a + b + c}{2}$ (1)

Vì a ≥ b, a ≥ c nên a + a + a ≥ a + b + c.

Hay 3a ≥ a + b + c.

Do đó $a \geq \frac{a + b + c}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{a + b + c}{3} \leq a < \frac{a + b + c}{2}$ .

Mà chu vi của tam giác này là a + b + c.

Vậy trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$ chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 7 Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác Cánh diều hay khác:

Giải SBT Toán 7 trang 70 Tập 2

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Cánh diều khác